Использование обратной матрицы при решении задач на преобразование координат.

Пусть в векторном пространстве Lⁿ вместо базиса B ={ e ₁, e ₂,…, e _n } выбран новый базис B ¢={ e ₁¢, e ₂¢,…, e _n ¢}. Пусть x (x ¹, x ²,…, xⁿ) _B – координаты произвольного вектора x в первом базисе (назовём их старыми координатами), x (x ¢¹, x ¢²,…, x ¢ ⁿ) _{B ¢} – координаты этого же вектора во втором базисе (новые координаты). Требуется найти связь между этими координатами.

Пусть нам известно разложение базисных векторов второго базиса по первому базису:

e ₁¢= с ₁¹ e ₁+ с ₁² e ₂+…+ с ₁ ⁿ e _n,

e ₂¢= с ₂¹ e ₁+ с ₂² e ₂+…+ с ₂ ⁿ e _n, (4)

................

e _n ¢= с_n ¹ e ₁+ с_n ² e ₂+…+ с_nⁿ e _n.

Составим из коэффициентов этого разложения матрицу, выписывая коэффициенты разложения из каждой строки в столбец с тем же номером:

С =.

Эта матрица называется матрицей перехода от первого базиса ко второму. С её помощью мы можем выписать, как старые координаты вектора выражаются через новые его координаты (т.е. обратную замену координат):

x ¹ = с ₁¹ x ¢¹ + с ₂¹ x ¢² +…+ с_n ¹ x ¢ ⁿ,

x ² = с ₁² x ¢¹ + с ₂² x ¢² +…+ с_n ² x ¢ ⁿ, (5)

................

xⁿ = с ₁ ⁿx ¢¹ + с ₂ ⁿx ¢² +…+ с_nⁿx ¢ ⁿ.

В матричном виде:

X = CX ¢, (5¢)

где X и X ¢ – столбцы, составленные из старых и новых координат (координатные столбцы) вектора x. Из автоматически получаем формулы прямой замены координат:

X ¢ = C ^-1 X. (6¢)

В развёрнутом виде эти формулы выглядят также, как и (5), только штрихи у координат стоят в левой части формул, а вместо элементов матрицы C используются элементы матрицы C ^-1.

Если по условию задачи нам известны старые координаты вектора x, то (5) представляет собой СЛУ, где новые координаты (x ¢¹, x ¢²,…, x ¢ ⁿ) являются неизвестными, а (x ¹, x ²,…, xⁿ) – это свободные члены. Равенство (6¢) – это решение (5) с помощью обратной матрицы.

Пример.

В пространстве вместо базиса B ={ e ₁, e ₂, e ₃} выбран новый базис B ¢={ e ₁¢, e ₂¢, e ₃¢}:

e ₁¢= e ₁ + 4 e ₂+ e ₃,

e ₂¢= – 4 e ₁ – 3 e ₂+ 2 e ₃,

e ₃¢= 2 e ₁ – e ₂– 2 e ₃.

а) Записать формулы перехода от старых координат (x ¹, x ², x ³) к новым координатам (x ¢¹, x ¢², x ¢³) и обратно.

б) Найти новые координаты вектора a (,,) _{B ¢}, если известны его старые координаты a (–7,–2, 5) _B.

Решение. Составим матрицу С перехода к новому базису. Её столбцы – это координатные столбцы векторов e ₁¢, e ₂¢, e ₃¢в базисе { e ₁, e ₂, e ₃}:

C =

Находим обратную к ней матрицу С ^-1:

С ^-1=

Формулы замены координат выглядят так:

x ¹ = x ¢¹ – 4 x ¢² + 2 x ¢³, x ¢¹ = 4 x ¹ – 2 x ² + 5 x ³,

x ² =4 x ¢¹ – 3 x ¢² – x ¢³, x ¢² = x ¹ – 2 x ² + x ³,

x ³ = x ¢¹ + 2 x ¢² – 2 x ¢³, x ¢³ = x ¹ – 3 x ² + x ³,

При составлении первых мы использовали матрицу С, а при составлении вторых – матрицу С ^–1. Подставляя координаты вектора a во вторые формулы, находим его координаты в новом базисе: a (1, 2, 0) _{B '} .

Можно подставить старые координаты (–7,–2, 5) в формулы обратной замены. Тогда мы получим СЛУ:

x ¢¹ – 4 x ¢² + 2 x ¢³ = -7,

4 x ¢¹ – 3 x ¢² – x ¢³ = -2,

x ¢¹ + 2 x ¢² – 2 x ¢³ = 5,

из которой можно найти новые координаты вектора a. Поскольку по условию задачи всё равно следует выписать формулы прямой замены координат, проще воспользоваться именно этими формулами.