Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Использование обратной матрицы при решении задач на преобразование координат.Пусть в векторном пространстве Ln вместо базиса B ={ e 1, e 2,…, e n } выбран новый базис B ¢={ e 1¢, e 2¢,…, e n ¢}. Пусть x (x 1, x 2,…, xn) B – координаты произвольного вектора x в первом базисе (назовём их старыми координатами), x (x ¢1, x ¢2,…, x ¢ n) B ¢ – координаты этого же вектора во втором базисе (новые координаты). Требуется найти связь между этими координатами. Пусть нам известно разложение базисных векторов второго базиса по первому базису: e 1¢= с 11 e 1+ с 12 e 2+…+ с 1 n e n, e 2¢= с 21 e 1+ с 22 e 2+…+ с 2 n e n, (4) ................ e n ¢= сn 1 e 1+ сn 2 e 2+…+ сnn e n. Составим из коэффициентов этого разложения матрицу, выписывая коэффициенты разложения из каждой строки в столбец с тем же номером: С =. Эта матрица называется матрицей перехода от первого базиса ко второму. С её помощью мы можем выписать, как старые координаты вектора выражаются через новые его координаты (т.е. обратную замену координат): x 1 = с 11 x ¢1 + с 21 x ¢2 +…+ сn 1 x ¢ n, x 2 = с 12 x ¢1 + с 22 x ¢2 +…+ сn 2 x ¢ n, (5) ................ xn = с 1 nx ¢1 + с 2 nx ¢2 +…+ сnnx ¢ n. В матричном виде: X = CX ¢, (5¢) где X и X ¢ – столбцы, составленные из старых и новых координат (координатные столбцы) вектора x. Из автоматически получаем формулы прямой замены координат: X ¢ = C -1 X. (6¢) В развёрнутом виде эти формулы выглядят также, как и (5), только штрихи у координат стоят в левой части формул, а вместо элементов матрицы C используются элементы матрицы C -1. Если по условию задачи нам известны старые координаты вектора x, то (5) представляет собой СЛУ, где новые координаты (x ¢1, x ¢2,…, x ¢ n) являются неизвестными, а (x 1, x 2,…, xn) – это свободные члены. Равенство (6¢) – это решение (5) с помощью обратной матрицы. Пример. В пространстве вместо базиса B ={ e 1, e 2, e 3} выбран новый базис B ¢={ e 1¢, e 2¢, e 3¢}: e 1¢= e 1 + 4 e 2+ e 3, e 2¢= – 4 e 1 – 3 e 2+ 2 e 3, e 3¢= 2 e 1 – e 2– 2 e 3. а) Записать формулы перехода от старых координат (x 1, x 2, x 3) к новым координатам (x ¢1, x ¢2, x ¢3) и обратно. б) Найти новые координаты вектора a (,,) B ¢, если известны его старые координаты a (–7,–2, 5) B. Решение. Составим матрицу С перехода к новому базису. Её столбцы – это координатные столбцы векторов e 1¢, e 2¢, e 3¢в базисе { e 1, e 2, e 3}: C = Находим обратную к ней матрицу С -1: С -1= Формулы замены координат выглядят так: x 1 = x ¢1 – 4 x ¢2 + 2 x ¢3, x ¢1 = 4 x 1 – 2 x 2 + 5 x 3, x 2 =4 x ¢1 – 3 x ¢2 – x ¢3, x ¢2 = x 1 – 2 x 2 + x 3, x 3 = x ¢1 + 2 x ¢2 – 2 x ¢3, x ¢3 = x 1 – 3 x 2 + x 3, При составлении первых мы использовали матрицу С, а при составлении вторых – матрицу С –1. Подставляя координаты вектора a во вторые формулы, находим его координаты в новом базисе: a (1, 2, 0) B ' . Можно подставить старые координаты (–7,–2, 5) в формулы обратной замены. Тогда мы получим СЛУ: x ¢1 – 4 x ¢2 + 2 x ¢3 = -7, 4 x ¢1 – 3 x ¢2 – x ¢3 = -2, x ¢1 + 2 x ¢2 – 2 x ¢3 = 5, из которой можно найти новые координаты вектора a. Поскольку по условию задачи всё равно следует выписать формулы прямой замены координат, проще воспользоваться именно этими формулами.
|