Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Определение. Матрица X называется обратной к матрице А, если

АX = XА = E

(E – единичная матрица). Тогда обозначаем X = А ^-1. Матрица, которая имеет обратную к ней матрицу, называется обратимой.

Из определения следует, что матрицы А и А ^-1 обязательно являются квадратными одного порядка.

Теорема. Матрица А является обратимой тогда и только тогда, когда она невырождена (т.е. det А ¹0).

Далее мы будем рассматривать только квадратные матрицы порядка 3 и системы из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Но всё сказанное будет верно и для квадратных матриц произвольного порядка, а также для систем линейных уравнений (СЛУ), содержащих n уравнений и n неизвестных (n >0).

Пусть дана СЛУ (мы используем один верхний и один нижний индекс вместо двух нижних индексов для того, чтобы такой вариант обозначений тоже был привычным для читателей):

a ₁¹ x ₁ + a ₂¹ x ₂ + a ₃¹ x ₃ = b ₁

a ₁² x ₁ + a ₂² x ₂ + a ₃² x ₃ = b ₂ (1)

a ₁³ x ₁ + a ₂³ x ₂ + a ₃³ x ₃ = b ₃.

Обозначим

А =, X =, B =;

А называется матрицей СЛУ (1), X – столбец неизвестных, B – столбец свободных членов. Тогда систему (1) можно записать в матричном виде так:

АX = B. (1¢)

Предположим, что матрица А невырождена. Умножим обе части равенства (1¢) слева на обратную матрицу А ^-1:

А ^-1 АX = А ^-1 B Û EX = А ^-1 B Û X = А ^-1 B. (2)

Тем самым, если мы знаем обратную матрицу мы можем вычислить столбец, составленный из неизвестных.

Обозначим A _jⁱ – матрица, которая получается из A в результате вычёркивания i -ой строки и j -го столбца; M_jⁱ – её определитель, а

= (-1) ^{i + j}M_jⁱ .

Тогда M_jⁱ называется минором, дополнительным к элементу a_jⁱ, – алгебраическим дополнением элемента a_jⁱ. Алгебраическое дополнение отличается от минора M_jⁱ только знаком в случае, когда i + j нечётно. Если i + j чётно, то = M_jⁱ.

Теорема. Для невырожденной квадратной матрицы А порядка 3

А ^-1=.

Таким образом, для того, чтобы составить А ^-1, мы на место каждого элемента матрицы ставим его алгебраическое дополнение, получившуюся матрицу транспонируем (т.е. превращаем строки в столбцы), и затем умножаем на (det А)^-1.

Пример . x ₁ + 2 x ₂ – x ₃ = 5

3 x ₁ – x ₂ + 4 x ₃ = 1

– x ₁ + 5 x ₂ – x ₃ = 9.

Решение. Составляем матрицу данной системы:

А =.

Вычисляем алгебраические дополнения. При этом стараемся располагать их так же, как расположены элементы матрицы. При этом важно не забыть поставить знак минус в тех случаях, когда i + j нечётно.

= = –19 = – = –1 = = 14

= – = –3 = = –2 = – = –7 (3)

= = 7 = – = –7 = = –7

После того, как уже найдены алгебраические дополнения, мы можем вычислить определитель матрицы А с помощью разложения по первой строке:

det А = a ₁¹ + a ₂¹ + a ₃¹ = 1·(-19) + 2·(–1) + (-1)·14 = – 35.

(мы умножаем каждый элемент первой строки матрицы на его алгебраическое дополнение и получившиеся числа складываем). Точно так же можно использовать разложение по любой другой строке.

Выписываем матрицу А ^-1, и при этом не забываем, что элементы первой строки в вычислениях (3) записываются в первый столбец, второй строки - во второй столбец, третьей строки – в третий столбец:

А ^-1= -

Находим решение по формуле (2):

X = А ^-1 B = - =

= - = - =

Тем самым мы нашли, что

= Û x ₁ = 1, x ₂ = 2, x ₃ = 0.

Прежде, чем писать ответ, делаем проверку:

1 + 2·2 – 0 = 5 – верно

3·1 –2 + 4·0 = 1 – верно

– 1 + 5·2 – 0 = 9 – верно.

Ответ: (1, 2, 0).