Задача оптимизации и ее особенности. Принципы построения целевой функции. Виды экстремумов. Типы ограничений.

Оптимальные системы управления - системы, в которых управление осуществляется в функции заданного критерия качества, называемого целевой функцией. Оптимальная система строится таким образом, чтобы доставлять экстремум целевой функции.

Проблема оптимизации - одна из основных и многогранных в современ­ной теории управления. Ниже будут рассматриваться лишь некоторые вопросы, связанные с построением алгоритмов оптимальных систем. В общем виде про­блема оптимизации заключается в решении двух основных задач: 1) нахожде­ния вида целевой функции, наиболее полно отображающей требования качества управления; 2) нахождения такого управления, которое обеспечивало бы работу системы при экстремальных значениях целевой функции.

Принципы построения целевой функции. Процесс получения целевой функции не формализуем, при этом нельзя рекомендовать какие-то строгие ма­тематические действия. Это результат качественного анализа процесса управ­ления, в котором использован предыдущий опыт и здравый смысл. Однако имеются положения, которыми можно руководствоваться при построении целе­вой функции. Целевая функция должна строиться так, чтобы удовлетворять следующим принципам:

1) однозначности (т.е. должен осуществляться поиск экстремума только одной целевой функции). Если по условиям задачи требуется находить экстре­мум целевой функции, составленной из нескольких отдельных целевых функ­ций, то их следует объединять в одну, например, посредством линейной комби­нации вида

где – весовые коэффициенты; – целевые функции;

2) соответствия (вид целевой функции должен обеспечивать наиболее
успешное управление процессом). Желательно, чтобы целевая функция была
одноэкстремальной. Функции, имеющие разрывы неоднозначности, не должны использоваться в качестве целевых. Особо выделяются целевые функции, которые вообще не имеют экстремума, например линейные целевые функции. При этом целевая функция должна быть дополнена ограничениями, иначе задача оптимизации не имеет смысла;

3) управляемости (целевая функция должна выражаться через переменные управления или через переменные управления и состояния). Для оптимиза­ции статических процессов – функции вида:

Для оптимизации динамических процессов – функции вида:

где – переменные состояния, – переменные управления, и – целевые функции;

4) ориентации на наиболее существенный показатель качества системы управления. Например, если из нескольких возможных целевых функций мож­но выбрать одну, то следует выбирать ту, которая оказывает наибольшее влия­ние на процесс.

Ограничения, накладываемые на переменные состояния и пере­менные управления. В ряде случаев, например в случае, линейных целевых функций, оптимальное управление не имеет смысла, если не учитывать ограни­чения, накладываемые на переменные состояния и переменные управления. Кроме того, при оптимизации реальных физических процессов эти ограничения всегда имеются. Любые ограничения, как правило, оказывают отрицательное влияние на качество процесса управления. В результате неучет ограничений либо не позволяет решать задачу оптимального управления, либо приводит к завышенным оценкам качества управления.

Существует два вида ограничений – жесткие и нежесткие.

Жесткие ограничения. Это ограничения, которые не могут быть превы­шены ни при каких условиях (ограничения, определяемые упорами, условиями безопасности и др.). Жесткие ограничения записываются в виде

или

где и – соответственно нижний и верхний пределы; – вспомогатель­ные неотрицательные переменные.

Нежесткие ограничения. Это ограничения, которые не запрещается пре­вышать, но которые обладают такими свойствами, что их нарушение приводит к резкому ухудшению качества процесса управления. Нежесткие ограничения учитываются обычно в целевой функции путем введения штрафа при превыше­нии переменной управления. Значение штрафа тем больше, чем больше на­рушено ограничение. Функции штрафа могут иметь следующий вид:

или

где – положительный коэффициент, –большое положительное число; j – номер переменной.

В случае нежестких ограничений целевые функции записываются сле­дующим образом:

или

Кроме жестких и нежестких ограничений на переменные управления мо­гут вводиться также и ограничения на некоторые функции переменных управления и состояния. Структура этих ограничений аналогична структуре ограни­чений, накладываемых на переменные управления.

При динамической оптимизации ограничениями могут быть начальные и граничные (конечные) значения переменных вида:

где и – начальное и конечное время; и – начальные и конечные значе­ния переменных состояния.

В общем случае вид ограничения определяется конкретными условиями работы реальной системы и должен учитываться при формировании управле­ний, обеспечивающих достижения экстремального значения целевой функции.

Во многих случаях в связи с ограничениями оптимальное значение целе­вой функции достигается не там, где ее поверхность имеет нулевой градиент. Нередко лучшее решение соответствует одной из границ области проектирова­ния.

Локальный оптимум представляет собой точку пространства проектиро­вания, в котором целевая функция имеет наибольшее (наименьшее) значение по сравнению с ее значениями во всех других точках ее ближайшей окрестности. На рис. 2.1.1 показана одномерная целевая функция, имеющая два локальных максимума А и В. Пространство проектирования может содержать много ло­кальных оптимумов. Это заставляет детально анализировать полученные ре­зультаты. Чтобы не принять первый из этих локальных оптимумов за оптималь­ное решение задачи.

а)	б)

Рис. 2.1.1 Экстремумы функций.

Глобальный оптимум представляет собой оптимальное решение для всего пространства проектирования. Оно лучше всех других решений, соответствую­щих локальным оптимумам, и именно его ищут при проектировании. Возможно несколько равных глобальных оптимумов, расположенных в разных частях пространства проектирования.

Таким образом, основу проектирования составляет оптимизация, т.е. по­иск оптимального решения. Решение, полученное в результате оптимизации, называют программой или планом. Как следствие математическую оптимиза­цию называют также математическим программированием, хотя последнее не имеет ничего общего с составлением программ на ЭВМ.

Использование методов математической оптимизации в техническом про­ектировании в ряде случаев называют оптимальным проектированием. Опти­мальное проектирование СУ можно рассматривать как процесс оптимизации целевых функций, используемых в задачах проектирования.