Определение объемов тел

Аналитический метод. Этот метод используют в качестве исходных данных площади поверхностей горизонтальных сечений географических объектов, которые могут быть определены в результате картометрических работ.

Если объект изображен на карте в изолиниях, то его объем V можно представить как сумму объемов отдельных слоев V_i, заключенных между плоскостями сечений.

Для вычисления объемов чаще всего используют способы конусов и призм. В их основе лежит замена исходного объекта, независимо от его сложности, совокупностью простых геометрических тел, например усеченного конусов в способе конусов или призм в способе призм (рис.16).

Обозначив высоты (глубины) горизонтальных сечений h₀, h₁, h_n, площади соответствующих им сечений p₀, p₁, p_n, получим объем V_i слоя,

имеющего высоту h_{1+1 -} h₁, площадь нижнего основания p₁ и площадь верхнего основания p₁₊₁. Найдем объем способом призм:

и способом конусов

.

Объем верхней части объекта V_в вычисляется как объем конуса:

,

где h_n+1 – максимальная высота (глубина) объекта.

Таким образом, рассматривая общий объем как сумму объекмов отдельных слоев, по способу призм имеем

,

по способу конусов

Если высота сечения изолиний на карте постоянна и равна h, то объем по способу призм

,

а по способу конусов

где Δh – высота конуса, завершающего объект.

Рис. 16. Схема определения объемов способом усеченных конусов (а) и способом призм (б)

Площади сечений могут быть определены любым из известных в картометрии способом.

Указанные способы были разработаны для вычисления объемов «простых» географических объектов: холмов, гор, коловин и т.д. площади горизонтальных сечений которых определяются по крупномасштабным картм с достаточно частным сечением рельефа. В эти ситуациях подобная аппроксимация естественна и погрешности методов не выходят за предлеы допустимых значений.

Графический метод. Данный метод измерения объемо требует предварительного построения кумулятивной кривой. Для этого на карте тем или иным способом измеряют площади всех высотных ступеней, заключенных между сосоедними изолиниями, подсчитывают накопленные значения площадей. После этого строят график, на котором по оси ординат откладывают интервалы высотных ступеней, а по оси абсцисс – накопленные площади. Соединив точки на графике плавной кривой, получают кумуляту, или интегральную кривую распредления высот (глубин). Известынми примерами кумуляты является гипсографическая (рис.17), батиграфическая и батигипсографическая кривые (рис.18).

Рис. 17. Гипсогрофическая кривая

С помощью гипсографической кривой решается и другая задача картометрии: опредление средней высоты горных массивов, стран, материков и средней глубины морей и океанов. Средняя высота (глубина) объекта определяется из выражения H_ср = V/S (где V – объем объекта; S – накопленная площадь).

Рис. 18. Батигипсографическая кривая

Площадь, ограниченная кумулятивной кривой и ординатами ее крайних точек, соответсвтует искомому объему. Ее можно измерить непосредственно на графике и выразить в принятом для графика масштабе.

Например, необходимо измерить запасы воды в снежном покрове по карте Республики Коми (рис.19).

Рис. 19. Карта запасов воды в снежном покрове на территории Республики Коми (а) и кумулятивная кривая, построенная по карте для определения объема (б)

Масштаб рис.19 а: 1 см = 4*10^-5км*50*10³км²=2 км³.

Площадь фигуры, ограниченная линией графика и осями координат, 33,36 см². Тогда V = 33,36 *2 км³=66,72 км³.

Вероятностно – статистический метод. Этот метод определения объемов основан на использовании различных типов объемных палеток. Его основная идея заключается в предстиавлении рассматриваемого объекта в виде суммы nго количества косоусеченных призм с основаниями в виде квадратов (рис.20) или других правильных многоугольников, например шестиугольников.

Средняя высота z_i каждой призмы определяется по карте в центре осноывания призмы путем линейной интерполяции между значениями изолиний.

Объем всего объекта, вычисляемый по результатам измерений квадратной и гексагональной палетками, соответственно

где p – площадь основания палетки в масштабе карты; R – расстояние между точками.

Рис. 20. Фрагмент карты (а) и блок – диаграмма, иллюстрирующая

вероятностно – статистичекий способ определения объемов (б)

Данный метод опредления объемов не требует непосредственного измерения площадей по картам. Достаточно разместить на карте сетку равноотстоящих точек, определить z_i в каждой точке просуммировать полученные значения и умножить сумму на площадь основания палетки.

Определение объема древесины в одном дереве. Для решения данной задачи необходимо знать формулу нахождения объема конуса: V = 1/3 πr²h, где π - константа, r² – радиус (толщина дерева), h – высота.

Определение количества произрастающих в лесу деревьев. Для определения общего количества деревьев произрастающих в лесу, необходимо знать площадь леса. Например, пусть площадь леса 1 га, т.е. 100*100 метров, тогда с учетом среднего расстояния между деревьями 5 метров, будет 20 деревьев на одной стороне, а на всей территории 400 деревьев.

Определение общего объема древесины в лесу. Зная объем древесины в одном дереве и общее количество деревьев в лесу, путем умножения находим общий объем древесины в лесу.