Свойства определенного интеграла

1. Если , то .

2. Если , то .

3. Если функция f(x) интегрируема в наибольшем из промежутков , , , то она интегрируема и в двух других промежутках, при этом справедлива формула:

.

4. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке , то сумма функций f(x) + g(x) также интегрируема на отрезке , причем:

.

5. Если функция f(x) интегрируема на отрезке , к – число, то к f(x) также интегрируема на отрезке , причем:

.

Теорема (о среднем значении определенного интеграла). Если функция интегрируема на отрезке , непрерывна на отрезке , тогда существует такая точка , что выполняется соотношение:

.

Геометрическая интерпретация теоремы очевидна (Рис.41): так как , тогда существует такое с, что .

Рис.41.

Отсюда очевидно следующее свойство определенного интеграла.

6. Если функция f(x) интегрируема на отрезке , неотрицательна на нем и , то

.

7. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке , причем f(x)≤g(x) и , то

.

При вычислении определённого интеграла пользуются следующим правилом.

Сначала находится неопределённый интеграл данной функции. Затем берётся функциональная часть неопределённого интеграла, то есть , и в неё вместо подставляется сначала верхний предел , потом нижний и из первого результата подстановки вычитается второй.

Пример. Вычислить интеграл . .

9.3. Методы вычисления определённого интеграла

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подынтегральную функцию, но и на пределы интегрирования (заменяя переменную интегрирования, следует не забыть изменить соответственно пределы интегрирования).

Коротко остановимся на методе замены переменной и методе интегрирования по частям.

9.3.1. Метод подстановки

Сущность метода состоит в замене переменной интегрирования другой переменной, связанной с ней какими-либо функциональными соотношениями.

При использовании этого метода для вычисления неопределённых интегралов по окончании операции надо было возвращаться снова к первоначальной переменной, что могло вызывать иногда трудности. Здесь такое возвращение не обязательно и заменяется изменением пределов интегрирования по новой переменной.

Пример. Вычислить интеграл . Введём новую переменную , положив , тогда . Найдём пределы интегрирования для новой переменной : Если Если Заменяя переменную в определённом интеграле, получим: Пример. Вычислить интеграл . Воспользуемся заменой переменной , тогда . Если , то , если , то . Выполняя замену, получаем .