Замена переменной в неопределенном интеграле

Одним из наиболее мощных методов интегрирования является замена переменной в интеграле. Поясним суть этого метода. Пусть , тогда

Но в силу инвариантности формы дифференциала равенство остается справедливым и в случае, когда — промежуточный аргумент, т.е. . Это значит, что формула верна и при . Таким образом,

, или .

Итак, если является первообразной для на промежутке , а — дифференцируемая на промежутке функция, значения которой принадлежат , то — первообразная для , и, следовательно,

Эта формула позволяет свести вычисление интеграла к вычислению интеграла . При этом мы подставляем вместо переменную , а вместо дифференциал этой переменной, т. е. . Поэтому полученная формула называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла. Она используется на практике как "слева направо", так и "справа налево". Метод замены переменной позволяет сводить многие интегралы к табличным. После вычисления интеграла надо снова заменить на .