Доказательство и формулировка

Пусть - возрастающая последовательность, ограниченная собственным супремумом . Тогда . Действительно, с одной стороны, если найдется такое число , что в нет элементов , то () - число, меньшее , но большее любого элемента . Cледовательно, - не супремум, пришли к противоречию. Значит, -предельная точка . Но у возрастающей последовательности может быть лишь одна предельная точка, это ее предел. Теорема доказана.

О числе е:

Рассмотрим последовательность {xn}n>1, заданную по правилу xn=(1+1/n)^n. Вычисления дают х1=2, х2=2,25, х3=64/27, х4=2,44..., х5=2,48…и тд. Отметим, что 2=х1<х2<х3<х4<х5<3/

Можно доказать, что

1. последовательность строго возрастает (те для любого н натурального последующий член больше предыдущего)

2. последовательность ограниченная сверху числом 3.

Билет 5. предел функции в точке (определения Коши(на эпсилон дельта языке) и Гейне (на языке последовательностей), примеры).