Свойства непрерывной функции.

Непрерывность функции – одно из важнейших свойств функции. Определение непрерывности ф-ции даётся на основе понятия предела функции. Определение: функция f(x) непрерывна в точке x ₀, если имеет место следующее равенство: lim(x 0)f(x)= f(x ₀)

Из определения непрерывности ф-ции что имеет место следующее равенство
lim(x x ₀-0)f(x)= f(x)= lim(x x ₀+0)f(x).

Из первого определения непрерывности ф-ции следует второе определение непрерывности ф-ции. Если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение ф-ции в точке x ₀, то ф-ция непрерывна в этой точке.

Сво-во1: Все элементарные ф-ции в ОДЗ являются непрерывными ф-циями.

Докажем неразрывность одной из элементарных функций f(x)=sin(x); xx

y = f(x+x)-f(x)= sin(x+x)- sin(x)

lim(x 0) y= lim(x 0)[sin(x+x)-sin(x)]=
= lim(x 0) [sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x)-sin(x)]=
= lim(x 0) (sin(x)- sin(x))=0

Сумма, произведение, частное двух непрерывных ф-ций является непрерывная ф-ция в точке x ₀.

Докажем, что частное непрерывных ф-ций в точке x ₀ - есть непрерывная ф-ция. Если ф-ции f(x) и g(x) непрерывны в точке x ₀

lim(x x ₀)f(x)=f(x ₀)=A; lim(x x ₀)g(x)=g(x ₀)=B.

На основании теоремы об операциях с предельными функциями (Предел суммы, разности, произведения, частного равен соответственно сумме, разности, произведению, частному (B0)

Точки разрыва и их классификация.

Свойства непрерывной функции на отрезке,

Типы точек разрыва

Если ф-ция f(x) непрерывна в каждой точке отрезка АВ, то говорят она непрерывна на этом отрезке. Ф-ция непрерывная на АВ обладает следующими св-ми:

1.Если ф-ция f (x) непрерывна на АВ, то внутри этого отрезка найдётся такое значение x, хотя-бы одно при котором ф-ция принимает наименьшее или наибольшее значение.

2.Если ф-ция f (x) непрерывна на интервале АВ, принимает некоторое значение М и m, а значение m< k <M, то найдётся такое x на интервале АВ, что f (x)= k

Точки разрыва ф-ции. Если ф-ция f (x) разрывна в точке x ₀, то точку x ₀ называют точкой разрыва f (x).

Точки разрыва определяют по следующим типам:

1.Точки устранимого разрыва – это такие точки в которых ф-ция не существует, а левый и правый пределы равны в этой точке. (Пример: I замечательный предел). Чтобы устранить разрыв нужно доопределить ф-цию в этой точке.

Точки разрыва первого типа: такие точки в которых левые и правые пределы конечны и неравны между собой. Этот разрыв называют – разрыв типа скачка.

Точки разрыва второго типа – когда левый или правый или оба – бесконечны.