Методы расчета линейных электрических цепей

МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Этот метод применяется для не очень сложных пассивных электрических цепей, такие цепи встречаются довольно часто, и поэтому этот метод находит широкое применение. Основная идея метода состоит в том, что электрическая цепь последовательно преобразуется ("сворачивается") до одного эквивалентного элемента, как это показано на рисунке 7, и определяется входной ток. Затем осуществляется постепенное возвращение к исходной схеме ("разворачивание") с последовательным определением токов и напряжений.

Последовательность расчёта:

1. Расставляются условно–положительные направления токов и напряжений.

2. Поэтапно эквивалентно преобразуются участки цепи. При этом на каждом этапе во вновь полученной после преобразования схеме расставляются токи и напряжения в соответствии с п. 1.

3. В результате эквивалентного преобразования определяется величина эквивалентного сопротивления цепи.

4. Определяется входной ток цепи с помощью закона Ома.

5. Поэтапно возвращаясь к исходной схеме, последовательно находятся все токи и напряжения.

Рассмотрим этот метод на примере (рисунок 7). В исходной схеме расставляем условно–положительные направления токов в ветвях и напряжений на элементах. Нетрудно согласиться, что под действием источника E с указанной полярностью направление токов и напряжений такое, какое показано стрелками. Для удобства дальнейшего пояснения метода, обозначим на схеме узлы а и б. При обычном расчете это можно не делать.

Далее осуществляем последовательно эквивалентное преобразование схемы. Вначале объединяем параллельно соединенные элементы, и находим (рисунок 7, б):

Рисунок 7 – Пример расчета цепи методом эквивалентного преобразования

Затем, объединяя все последовательно соединенные элементы, завершаем эквивалентное преобразование схемы (рисунок 10, в):

В последней схеме (рисунок 7, в) находим ток I ₁:

Теперь возвращаемся к предыдущей схеме (рисунок 7, б). Видим, что найденный ток I ₁ протекает через R ₁, R _2,3, R ₄ и создает на них падение напряжения. Найдем эти напряжения:

.

Возвращаясь к исходной схеме (рисунок 7, а), видим, что найденное напряжение U _аб прикладывается к элементам R ₂ и R ₃.

Значит, можем записать, что U ₂ = U ₃ = U _а,б

Токи в этих элементах находят из совершенно очевидных соотношений:

Итак, схема рассчитана.

ЗАКОНЫ КИРХГОФА

Этот метод наиболее универсален и применяется для расчета любых цепей. при расчете этим методом первоначально определяются токи в ветвях, а затем напряжения на всех элементах. токи находятся из уравнений, полученных с помощью законов Кирхгофа. так как в каждой ветви цепи протекает свой ток, то число исходных уравнений должно равняться числу ветвей цепи. число ветвей принято обозначать через n. часть этих уравнений записываются по первому закону Кирхгофа, а часть – по второму закону Кирхгофа. все полученные уравнения должны быть независимыми. это значит, чтобы не было таких уравнений, которые могут быть получены путем перестановок членов в уже имеющемся уравнении или путем арифметических действий между исходными уравнениями. при составлении уравнений используются понятия независимых и зависимых узлов и контуров. рассмотрим эти понятия.

Независимым узлом называется узел, в который входит хотя бы одна ветвь, не входящая в другие узлы, если число узлов обозначим через к, то число независимых узлов равно (к–1). на схеме (рисунок 8) из двух узлов только один независим.

Независимым контуром называется контур, который отличается от других контуров хотя бы одной ветвью, не входящей в другие контура. в противном случае такой контур называется зависимым.

Если число ветвей цепи равно n, то число независимых контуров равно

[n – (к–1)].

В схеме (рисунок 8) всего три контура, но только два независимых контура, а третий – зависим. выделять независимые контура можно произвольно, т. е. в качестве независимых контуров можно выбрать при первом расчете одни, а при втором расчете (повторном) – другие, которые раньше были зависимыми. результаты расчета будут одинаковыми.

Рисунок 8 – Электрическая схема для расчета

Если по первому закону Кирхгофа составить уравнения для (к–1) независимых узлов, а по второму закону Кирхгофа составить уравнения для [n – (к–1)] независимых контуров, то общее число уравнений будет равно:

(K–1) + [n – (K–1)] = n.

Это означает, что для расчёта имеется необходимое число уравнений.

Последовательность расчёта:

1. Расставляем условно – положительные направления токов и напряжений.

2. Определяем число неизвестных токов, которое равно числу ветвей (n).

3. Выбираем независимые узлы и независимые контуры.

4. С помощью первого закона Кирхгофа составляем (К–1) уравнений для независимых узлов.

5. С помощью второго закона Кирхгофа составляем [n – (К–1)] уравнений для независимых контуров. При этом напряжения на элементах выражаются через токи, протекающие через них.

6. Решаем составленную систему уравнений и определяем токи в ветвях. При получении отрицательных значений для некоторых токов, необходимо их направления в схеме изменить на противоположные, которые и являются истинными.

7. Определяем падения напряжений на всех элементах схемы.

Рассмотрим последовательность расчета на примере схемы, приведенной на рисунок 8. Учитывая направление источника E, расставляем условно–положительные направления токов и напряжений. В схеме три ветви, поэтому нам необходимо составить три уравнения. В схеме два узла, следовательно, из них только один независимый. В качестве независимого узла выберем узел 1. Для него запишем уравнение по первому закону Кирхгофа:

I₁ = I₂ + I₃.

Далее необходимо составить два уравнения по второму закону Кирхгофа. В схеме всего три контура, но независимых только два. В качестве независимых контуров выберем контур из элементов E–R1–R2 и контур из элементов R2– R3. Обходя эти два контура по направлению движения часовой стрелки, записываем следующие два уравнения:

E = I₁,R₁ + I₂R₂,

0 = – I₂R₂ + I₃R₃.

Решаем полученные три уравнения и определяем токи в ветвях. Затем через найденные токи по закону Ома определяем падения напряжений на всех элементах цепи.

МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Сложные схемы характеризуются наличием значительного числа ветвей. В случае применения предыдущего метода это приводит к необходимости решать систему из значительного числа уравнений.

Метод контурных токов позволяет заметно уменьшить число исходных уравнений. При расчёте методом контурных токов используются понятия независимого контура и зависимого контура, которые нам уже известны. Кроме них в этом методе используются ещё следующие понятия:

– собственный элемент контура – элемент, относящийся только к одному контуру;

– общий элемент контура – элемент, относящийся к двум и более контурам цепи.

Обозначаем, как и раньше, через К число узлов, а через n число ветвей цепи. Тогда число независимых контуров цепи определяется по уже известной формуле [n – (К–1)].

Метод основывается на предположении, что в каждом независимом контуре течёт собственный контурный ток (рисунок 9), и вначале находят контурные токи в независимых контурах. Токи в ветвях цепи определяют через контурные токи. При этом исходят из того, что в собственных элементах контура токи совпадают с контурным током данного контура, а в общих элементах ток равен алгебраической сумме контурных токов тех контуров, к которым принадлежит данный элемент.

Рисунок 9 – Пример расчета методом контурных токов

Последовательность расчёта:

1. Определяется число ветвей (n) и число узлов (К) цепи. Находится число независимых контуров [n – (К–1)].

2. Выбирается [n – (К–1)] не зависимых контуров.

3. Выбирается условно–положительное направление контурных токов в каждом из независимых контуров (обычно показывается стрелкой).

4. Для каждого из независимых контуров составляется уравнение по второму закону Кирхгофа. При этом падение напряжения на собственных элементах определяется как произведение контурного тока на величину сопротивления, а на общих элементах – как произведение алгебраической суммы всех контурных токов, протекающих через данный элемент, на величину его сопротивления. Обход контура производится, как правило, в направлении собственного контурного тока.

5. Решается система из [n – (К–1)] уравнений и находятся контурные токи.

6. Токи в ветвях схемы находятся следующим образом:

– в собственных элементах контура ток равен контурному току;

– в общих элементах контура ток равен алгебраической сумме токов, протекающих через данный элемент.

Рассмотрим в общем виде применение этого метода для расчёта схемы, приведенной на рисунок 9.

В этой схеме три ветви и два узла, следовательно, в ней только два независимых контура. Выбираем эти контура и показываем в них направления (произвольно) контурных токов Iк1 и Iк2. Составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа:

.

Решив эту систему уравнений, находим контурные токи Iк1 и Iк2. Затем определяем токи в ветвях:

I1 = Iк1, I3 = Iк2, I2 = Iк1 – Iк2.

МЕТОД УЗЛОВОГО НАПРЯЖЕНИЯ

Метод узловых напряжений (потенциалов) позволяет составить систему уравнений, по которой можно определить потенциалы всех узлов схемы. По известным разностям узловых потенциалов можно определить токи во всех ветвях. В схеме на рисунке 10 имеется четыре узла. Потенциал любой точки схемы можно принять равным нулю. Тогда у нас останутся неизвестными три потенциала. Узел, величину потенциала которого выбирают произвольно, называют базисным. Укажем в схеме произвольно направления токов. Примем для схемы φ₄ = 0.

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 1.

В соответствии с законами Ома для активной и пассивной ветви:

,

где - проводимость первой ветви.

Рисунок 10 - Пример расчета методом узлового напряжения

,

где - проводимость второй ветви.

Подставим выражения токов в уравнение

где g₁₁ = g₁ + g₂ - собственная проводимость узла 1.

Собственной проводимостью узла называется сумма проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле.

g₁₂ = g₂ - общая проводимость между узлами 1 и 2.

Общей проводимостью называют проводимость ветви, соединяющей узлы 1 и 2. - сумма токов источников, находящихся в ветвях, сходящихся в узле 1.

Если ток источника направлен к узлу, величина его записывается в правую часть уравнения со знаком "плюс", если от узла - со знаком "минус".

По аналогии запишем для узла 2:

для узла 3:

Решив совместно уравнения, определим неизвестные потенциалы φ₁, φ₂, φ₃, а затем по закону Ома для активной или пассивной ветви найдем токи. Если число узлов схемы - n, количество уравнений по методу узловых потенциалов - (n - 1).

Если в какой-либо ветви содержится идеальный источник ЭДС, необходимо один из двух узлов, между которыми включена эта ветвь, выбрать в качестве базисного, тогда потенциал другого узла окажется известным и равным величине ЭДС. Количество составляемых узловых уравнений становится на одно меньше.

МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ

Метод применяется для расчета цепей, содержащих несколько (два и более) источников электрической энергии. Подчеркнем, что этот метод применим для расчета только линейных цепей. Метод основывается на том положении, что в каждой ветви цепи ток равен алгебраической сумме токов, создаваемых каждым источником. Следовательно, необходимо определить токи, создаваемые каждым источником в отдельности, а затем их просуммировать с учетом направлений.

Последовательность расчета:

Последовательность расчета:

1. Отсоединить от схемы интересующую ветвь, клеммы подсоединения которой обозначить через а–б.

2. Рассчитать оставшуюся часть цепи и определить напряжение на клеммах а–б (U _аб).

3. В оставшейся части цепи заменить источники ЭДС перемычкой или резистором, сопротивление которого равно внутреннему сопротивлению источника ЭДС.

4. Определить сопротивление этой цепи относительно клемм а–б, которое обозначим R ₀.

5. Оставшуюся часть цепи заменить последовательно соединёнными источником ЭДС с напряжением U _аб и резистором с сопротивлением R ₀. Эту цепь подсоединить к клеммам а–б.

6. К клеммам а–б подсоединить интересующую ветвь и определить ток, протекающий через нее.

Определим ток в ветви а–б схемы (рисунок 13, а) методом эквивалентного источника напряжения.

Отключаем ветвь а–б (рисунок 13, б) и находим напряжение на клеммах а–б:

.

Далее исключаем у оставшейся схемы источник E, заменяя его перемычкой, считая, что его внутреннее сопротивление равно нулю (рисунок 13, в) и определяем сопротивление цепи относительно клемм а–б:

.

Теперь составляем схему (рисунок 13, г) и находим ток в ветви а–б:

.

На этом расчет закончен.

Рисунок 13 - Пример расчета методом эквивалентного источника напряжения

БАЛАНС МОЩНОСТЕЙ. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ РАСЧЁТА

В соответствии с законом сохранения энергии очевидно следующее утверждение для электрической цепи: "В электрической цепи, содержащей несколько источников электрической энергии и несколько диссипативных элементов, суммарная мощность, выделяемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощности, рассеиваемой (потребляемой) диссипативными элементами". Это положение называется условием баланса мощностей.

В общем случае условие баланса мощностей можно представить следующим соотношением:

или

где n – число источников ЭДС, к – число диссипативных элементов.

Точность расчета оценивается с помощью относительной погрешности в процентах по формуле:

где Pист – суммарная мощность всех источников цепи, P_R – суммарная мощность, потребляемая всеми диссипативными элементами.

ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ.

При расчете электрической цепи используются гармонические функции sin – ой или cos–ой формы. Так переменное напряжение в sin–ой форме может иметь вид:

Переменный ток в cos–ой форме имеет вид:

где Um, Im– амплитуды напряжения и тока, jU, jI – начальные (при t = 0) фазы напряжения и тока, w – круговая частота.

Несмотря на относительную простоту этих функций, аналитические операции над ними и графическое представление на одном графике несколько таких функций вызывает определенные сложности.

На основе формулы Эйлера имеем:

.

Введем понятие комплексного напряжения:

Видно, что мнимая часть комплексного выражения полностью совпадает с переменным напряжением в sin–ой форме. Сразу отметим, что если бы переменное напряжение было представлено в cos–ой форме, то оно совпало бы с вещественной частью комплексного напряжения.

Введем понятие комплексного тока:

Здесь вещественная часть комплексного выражения совпадает с переменным током в cos–ой форме. Если бы была sin–ая форма, то она совпала бы с мнимой частью комплексного тока.

Итак, в методе комплексных амплитуд исходное переменное напряжение в начале записывается в cos–ой форме:

.

Затем это напряжение представляется в комплексной форме:

В такой форме записываются напряжения и токи цепи, выполняется анализ, получается результат в комплексной форме, вещественная часть которого и будет действительным результатом.

Запишем комплексное напряжение и комплексный ток:

,

Здесь и называются комплексными амплитудами напряжения и тока и обозначаются:

;

Комплексные амплитуды напряжения и тока – это значение комплексных напряжения и тока при t = 0.

КОМПЛЕКСНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Закон Ома в комплексной форме имеет вид:

Как всякая комплексная величина, комплексное сопротивление cо стоит из вещественной и мнимой частей:

Вещественная часть R комплексного сопротивления цепи переменного тока включает резистивные (диссипативные) составляющие цепи. Мнимая часть X комплексного сопротивления переменного тока включает реактивные составляющие цепи. Поэтому она называется чаще реактивной составляющей комплексного сопротивления. Если вещественная часть комплексного сопротивления всегда положительная, то реактивная часть может быть положительной (X>0) или отрицательной (X<0).

Комплексное сопротивление иногда удобно представлять в тригонометрической и показательной формах:

где ; .

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ В ЦЕПЯХ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Добротностью называется отношение амплитуды реактивной мощности цепи к величине средней мощности.

Затуханием называется величина, обратная добротности, и обозначается через d.

Резистивным двухполюсником называется двухполюсник, содержащий только резистивные элементы. Простейшим примером такого двухполюсника является резистор

Емкостной двухполюсник представляет собой конденсатор, к которому приложено напряжение.

Индуктивный двухполюсник представляет собой катушку индуктивности, к которой приложено напряжение.

Идеальный индуктивный двухполюсник характеризуется отсутствием явления диссипации, т. е. в нем не происходит рассеивание мощности.

Мгновенная мощность идеального индуктивного двухполюсника определяется по формуле

при