Волновые уравнения для направляемых волн.

Тема 2

Электромагнитные волны в направляющих системах

Волновые уравнения для направляемых волн.

Рассмотрим произвольную бесконечно протяженную однородную направляющую систему, ориентированную вдоль оси . Будем считать, что направляющая система не вносит потерь.

В области, где отсутствуют сторонние источники, комплексные амплитуды векторов и , соответствующие волне, бегущей вдоль однородной линии передачи, могут быть представлены в виде

(1)

где (коэффициент фазы), и - координаты, изменяющиеся в поперечном сечении рассматриваемой линии передачи. Выбор конкретной системы координат зависит от формы поперечного сечения линии. Множитель соответствует волне, бегущей в положительном направлении оси , а множитель - волне, бегущей в обратном направлении. Для определенности будем считать, что волна распространяется в положительном направлении оси Z.

Векторы и должны удовлетворять однородным уравнениям Гельмгольца (. С учетом формул (1) эти уравнения при и могут быть переписаны в виде

(2)

где

(3)

а оператор . Величину называют поперечным волновым числом.

Покажем, что в тех случаях, когда векторы и (оба или один из них) имеют продольные составляющие, нахождение поля направляемой волны может быть сведено к определению составляющих и , так как поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные. Проецируя уравнения Максвелла на оси и декартовой системы координат и учитывая, что в рассматриваемом случае дифференцирование по переменной эквивалентно умножению на , получаем

(4)

Система уравнений (4) позволяет выразить составляющие , , и через

и . После элементарных преобразований имеем

(5)

Система уравнений (5) связывает поперечные и продольные составляющие векторов поля в декартовой системе координат. Для выражения этой связи в произвольной системе координат перейдем к векторной форме уравнений (5). Введем векторы

(6)

, (7)

связанные с и соотношением и . Подставляя а (6) вместо и их выражения из (5), приходим к равенству

,

которое может быть переписано в виде

, (8)

где оператор .

Аналогично доказывается равенство

(9)

Продольные составляющие и удовлетворяют уравнениям

(10)

вытекающим из (2).

Таким образом, для определения поля и гибридных волн достаточно найти составляющие и путем решения уравнений (10) с учетом краевых условий, соответствующих рассматриваемой направляющей системе, а для вычисления поперечных составляющих использовать равенства (5) или (8) и (9).

У ТЕМ-волн продольные составляющие векторов и отсутствуют ( и ).

2. Общие свойства и параметры электрических, магнитных и гибридных волн

В случае электрических ( и ), магнитных (, ) и гибридных () волн постоянная отлична от нуля. Это следует, в частности, из равенств (8) и (9). Для каждой конкретной линии передачи она может быть определена в результате решения уравнений (10) и учета краевых условий, соответствующих этой линии. Постоянная зависит от формы и размеров поперечного сечения линии передачи и от типа распространяющейся волны, но не зависит от частоты.

Выражая коэффициент фазы р из (3), получаем

(11)

Так как , то в зависимости от частоты подкоренное выражение в (11) может быть положительным (при ), равным нулю (при .) или отрицательным (при ).

В первом случае параметр - действительное число и фазы составляющих векторов поля в фиксированный момент линейно зависят от координаты , что является признаком распространения волны вдоль оси с постоянной скоростью . Как будет видно из дальнейшего, распространение волны в этом случае сопровождается переносом энергии вдоль оси .

В третьем случае . Подкоренное выражение в (11) оказывается отрицательным, и . Знак в правой части последнего равенства выбран из физических соображений: при этом множитель и амплитуды составляющих векторов и экспоненциально убывают вдоль оси . Если принять , то амплитуды векторов поля будут возрастать с удалением от источников, что в рассматриваемой задаче физически невозможно. Фазы составляющих векторов поля в данном случае не зависят от координат: поле имеет характер стоячей волны и экспоненциально уменьшается вдоль оси . Переноса энергии вдоль линии передачи в этом случае не происходит. Подчеркнем, что экспоненциальное убывание поля вдоль линии передачи не связано с потерями энергии: рассматривается идеальная направляющая система, в которой потери отсутствуют.

Во втором случае параметр . Такой режим называют критическим. Частота , определяемая из условия , называется критической частотой:

(12)

Соответствующая этой частоте критическая длина волны

(13)

Выражая из (13) и подставляя в (11), получаем

(14)

Как видно, параметр β является действительной величиной, т.е. поле (1) представляет собой распространяющуюся волну, только при выполнении условия

(15)

Неравенство (15) можно переписать в виде

(16)

Таким образом, , и гибридные волны в идеальной линии передачи могут распространяться только на частотах, превышающих некоторую критическую частоту, определяемую формулой (12). Отметим, что значение зависит от формы и размеров поперечного сечения линии и типа волны.

Неравенство (15), а также (16) называют условием распространения волны в линии передачи.

По аналогии с обычным определением назовем длиной направляемой волны , распространяющейся в линии передачи, расстояние между двумя поперечными сечениями, в которых в один и тот же момент времени фазы составляющих вектора (или ) отличаются на . Очевидно также, что длина волны равна расстоянию, на которое поверхность равной фазы перемещается за период. Так как зависимость всех составляющих векторов поля от координаты определяется множителем , то

(17)

а фазовая скорость вычисляется по формуле

(18)

Общие выражения для критической длины волны (13), критической частоты (12), коэффициента фазы (14), длины волны в линии (17) и фазовой скорости (18) одинаковы для и гибридных волн. Однако из этого не следует, что значения перечисленных параметров будут одинаковыми для этих волн. Критическая длина волны зависит от поперечного волнового числа (). В свою очередь, значение зависит от формы и размеров поперечного сечения линии передачи и от структуры поля распространяющейся волны. Структура поля и гибридных волн различна, поэтому в общем случае соответствующие данным волнам значения могут не совпадать. При этом для указанных волн не будут совпадать и значения параметров .

Перейдем к вычислению характеристических сопротивлений рассматриваемых волн. По определению характеристическое сопротивление волны равно отношению поперечных к направле­нию распространения составляющих векторов и .

В случае волн поперечные составляющие векторов и определяются формулами

(19)

(20)

получающимися из (8) и (9) при . Подставляя в (20) выражение для из (19), приходим к соотношению . Аналогичное равенство выполняется и для векторов и , где и - продольные составляющие векторов и , введенных формулами (1). Как видно, векторы и (а также и ) взаимно перпендикулярны. Из полученного соотношения вытекает следующее выражение для характеристического сопротивления волн:

(21)

где . При этом соотношение, связывающее поперечные составляющие векторов и в случае волн принимает вид

(22)

Характеристическое сопротивление волн зависит от длины волны (от частоты). При оно всегда меньше . На критической частоте (при ) . При уменьшении (т.е. при увеличении частоты от до бесконечности) возрастает от нуля до (рис. 3).

Аналогично вычисляется характеристическое сопротивление волн . Полагая в (8) и (9) , получаем

(23)

(24)

Подставляя выражение для из (24) в (23), приходим к равенству . Умножая векторно обе части этого равенства на орт и раскрывая двойное векторное произведение по формуле (П.31), получаем

(25)

где

(26)

Как видно, в случае волн векторы и (и соответствующие им векторы и ) как и аналогичные им векторы в случае волн, взаимно перпендикулярны. Характеристическое сопротивление волн зависит от частоты. При оно всегда больше . При увеличении частоты от критической до бесконечности убывает от бесконечности до (см.рис.3).

В случае гибридных потерь () поперечные составляющие векторов и определяются общими формулами (8) и (9). Поэтому получить единое простое выражение для характеристического сопротивления не удается: его величина зависит и от линии передачи, и от структуры поля распространяющейся волны и при может быть как больше, так и меньше . На частотах, меньших критической (), характеристическое сопротивление гибридных волн также принимает чисто мнимые значения.