![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Доказательство теоремы ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4
Необходимость. Система Достаточность. Пусть ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных. По теореме о базисном миноре из этого следует, что существует отличный от нуля минор матрицы порядка r. Не умаляя общности, будем полагать, что базисный минор — главный минор матрицы Рассмотрим первые r уравнений системы (по теореме о базисном миноре остальные уравнения — линейные комбинации этих первых уравнений): Оставим слева первые r неизвестных, а остальные n-r неизвестные перенесем вправо и получим неоднородную систему линейных уравнений относительно неизвестных Определитель полученной системы — отличный от нуля базисный минор Mr. Уравнения системы справедливы при произвольных значениях переменных Базисные переменные можно вычислить по формулам Крамера Здесь Итак, Положим, например такие значения свободных переменных: Тогда вектор Фундаментальная система решений однородной системы. Структура общего решения однородной системы Вспомним, что решения однородной системы Определение. Выражение, позволяющее вычислить все (любое) решения системы, называется общим решением системы. В теореме о нетривиальной совместности однородной системы показано, что если r — ранг матрицы системы, то r базисных переменных выражаются через свободные переменные по формулам
Здесь для простоты полагали, что базисные переменные — это первые r переменных. Вообще говоря, это могут быть любые r переменных. Итак, Построим n-r ненулевых решений однородной системы специальным образом. Сначала положим Затем положим и т.д., и, наконец, положим
Нетрудно видеть, что эти n-r ненулевые решения линейно независимы. Действительно, запишем матрицу, столбцами которой являются векторы
Минор этой матрицы, расположенный в последних n-r строках равен 1, отличен от нуля. Это означает, что ранг матрицы равен n-r и что ее n-r столбца линейно независимы. А столбцы этой матрицы — ненулевые решения однородной системы С другой стороны, любое решение системы, в соответствии с приведенными выше формулами, можно записать в виде: Здесь произвольные значения свободных переменных Подведем итог: ü построена система ü любое решение системы линейно выражается через решения ü множество решений однородной системы — линейное подпространство. Тогда можно утверждать: 1. размерность подпространства L решений однородной системы 2. система 3. выражение Определение. Система Выше мы доказали следующие утверждения. Утверждение. Фундаментальная система решенийоднородной системы — базис пространства решений однородной системы. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений. Если ранг r матрицы однородной системы линейных уравнений меньше числа неизвестных n, то общее решение системы можно записать в виде линейной комбинации решений фундаментальной системы: Пример 1. Исследуем однородную систему линейных алгебраических уравнений Исследовать однородную систему — ответить на вопрос является ли система нетривиально совместной, и если является, то найти ее общее решение. Решение. Решим задачу методом Гаусса-Жордана. Приведем матрицу системы к ступенчатому виду, выполняя элементарные преобразования строк (прямой ход метода Гаусса): Ранг матрицы системы равен r = 2, число неизвестных n =4, r < n — система нетривиально совместна. Кроме того, очевидно, множества решений исходной системы и системы с преобразованной матрицей совпадают. Продолжим преобразование матрицы системы, выполняя элементарные операции со строками так, чтобы базисный минор матрицы стал единичным (обратный ход метода Гаусса):
Запишем эквивалентную систему уравнений: Главный минор матрицы этой системы — Следовательно, переменные Перенесем свободные переменные вправо: Получили выражение базисных переменных через свободные. Такое выражение — общее решение однородной системы, записанное «на языке систем». Найдем базис в подпространстве решений системы (фундаментальную систему). Для этого положим значения свободных переменных равными Тогда вектор
Затем положим значения свободных переменных равными Тогда вектор Векторы Запишем общее решение системы:
Проверим: Верно. Ответ: Общее решение системы Структура общего решения неоднородной системы Вспомним одно из свойств решений линейной неоднородной системы: Если Поскольку выражение
Таким образом доказана теорема о структуре общего решения линейной неоднородной системы. Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Если ранг r матрицы неоднородной системы линейных уравнений меньше числа неизвестных n, то общее решение системы можно записать в виде где Пример 2. Исследуем неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Исследовать неоднородную систему — ответить на вопрос является ли система совместной, и если является, то найти ее общее решение. Решение. Решим задачу методом Гаусса-Жордана. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду, выполняя элементарные преобразования строк (прямой ход метода Гаусса): Ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы и равен двум: RgAp =RgA = r = 2, система совместна. Число неизвестных n =4, r < n — приведенная однородная система нетривиально совместна. Кроме того, очевидно, множества решений исходной системы и системы с преобразованной матрицей совпадают. Продолжим преобразование расширенной матрицы системы, выполняя элементарные операции со строками так, чтобы базисный минор матрицы стал единичным (обратный ход метода Гаусса):
Запишем эквивалентную систему уравнений: Как и в примере 1, переменные Перенесем свободные переменные вправо: Получили выражение базисных переменных через свободные переменные. Такое выражение — общее решение неоднородной системы, записанное «на языке систем». Найдем частное решение неоднородной системы. Для этого положим значения свободных переменных равными и тогда вектор Приведенная однородная система — система из примера 1. Воспользуемся решением предыдущего примера:
Тогда Проверим: Верно. Ответ: Система совместна, ее общее решение Вычисление обратной матрицы методом Гаусса-Жордана Пусть A — обратимая квадратная матрица. Обозначим т.е. Эти n систем можно решать методом Гаусса-Жордана одновременно, поскольку у всех у них одна и та же матрица.Запишем матрицу, содержащую в первых n столбцах матрицу системы, а в последних n столбцах — единичную матрицу, и выполним Гауссово исключение так, чтобы получилось:
Матрица, расположенная в последних n столбцах — обратная матрица. Действительно, в (n +1)-м столбце — решение системы Пример 3. Найдем методом Гаусса-Жордана матрицу, обратную к матрице Решение Т.е. Проверим. Верно. Ответ: Date: 2016-11-17; view: 303; Нарушение авторских прав |