Очевидно, что однородная система всегда совместна, поскольку у нее всегда есть тривиальное — нулевое решение.

Совместность однородной системы также легко получить из теоремы Кронекера-Капелли: добавление столбца правых частей — нулевого столбца, не может увеличить ранг матрицы.

Минор матрицы. Теорема о базисном миноре

Определение. Минором матрицы порядка r называется определитель, составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении любых r строк и r столбцов матрицы; обозначаем M_r.

Пример.

минор M₂ расположен на пересечении 2-й и 5-й строк с 3-м и 5-м столбцами, а минор M₄ — на пересечении 1-й, 3-й, 4-й и 5-й строк с 1-м, 2-м, 4-м и 5-м столбцами.

Минор M_r, расположенный в первых r строках и в первых r столбцах матрицы, называется угловым или главным минором матрицы.

Справедлива следующая теорема.

Теорема о базисном миноре. Если ранг матрицы равен r, то у матрицы есть отличный от нуля минор порядка r. Строки и столбцы этого минора линейно независимы, а все остальные строки и столбцы матрицы через них линейно выражаются.

Доказательство теоремы опускаем. Его можно найти в учебниках, приведенных в списке литературы.

Отличный от нуля минор ­ r -го порядка матрицы, ранг которой равен r,называется базисным минором,столбцы матрицы, входящие в этот минор называются базисными столбцами, а строки, входящие в базисный минор — базисными строками.

Т.е. теорема о базисном миноре утверждает, что базисные строки и базисные столбцы матрицы линейно независимы, а остальные строки и столбцы матрицы линейно выражаются через базисные.

Следствия из теоремы о базисном миноре

1. Если ранг матрицы равен r,то все миноры матрицы более высокого порядка равны нулю.

Действительно. Любой минор более высокого порядка содержит хотя бы один столбец (строку), который линейно выражается через столбцы базисного минора, и, следовательно, равен нулю, поскольку разлагается в линейную комбинацию определителей с хотя бы двумя равными столбцами:

2. Ранг матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля миноров матрицы.

Действительно, из теоремы о базисном миноре следует, размерность базисного минора — наибольшее число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

3. Строки и столбцы квадратной матрицы линейно независимы тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля.

Действительно, определитель — минор наивысшего порядка. Если он отличен от нуля, то он и есть базисный минор матрицы, т.е. все его столбцы (строки) — базисные — линейно независимые. И наоборот. Если все n строк и столбцов квадратной матрицы порядка n линейно независимы, то ранг матрицы равен n. Но по теореме о базисном миноре существует отличный от нуля минор матрицы порядка n,а такой минор — определитель матрицы.

Замечание. Утверждение теоремы о базисном миноре легко понять на примере ступенчатой матрицы. Вспомним, что ранг ступенчатой матрицы

равен числу r ненулевых строк. Видно, что главный минор этой матрицы, M_r отличен от нуля:

ведь все диагональные элементы отличны от нуля.

Любой минор более высокого порядка содержит нулевую строку, т.е. равен нулю.

Нетривиальная совместность однородных систем. Необходимое и достаточное условие нетривиальной совместности однородной системы

Мы уже говорили, что однородная система линейных алгебраических уравнений всегда совместна. Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди этих решений есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.

Пример. Вектор — отличное от нуля решение однородной системы

Теорема (необходимое и достаточное условие нетривиальной совместности однородной системы). Для того чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.