Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Приложения формул Тейлора и Маклорена.Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
КУРС ЛЕКЦИЙ По дисциплине «Математика» 2 семестр Для студентов заочной формы обучения Раздел №1 «Приложения производной» Волгодонск
Теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема На интервале (a;b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда. Доказательство: По определению производной: . Пусть для определенности в точке функция принимает набольшее значение. Тогда числитель . Рассмотрим два случая: 1) . По теореме о предельном переходе в неравенствах: предел дроби меньше нуля Þ . 2) . . Ч.т.д. Геометрический смысл теоремы Ферма: Так как , то угловой коэффициент касательной равен нулю Þ касательная параллельна оси ОХ.
Теорема Ролля. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), причем на концах интервала принимает одинаковые значения . Тогда существует точка сÎ(a;b), значения производной в которой равно 0, т.е. . Доказательство: Т.к. функция непрерывна на отрезке [a;b], то по II-й т. Вейерштрасса о непрерывных функциях принимает на [a;b] наибольшее М и наименьшее m значения. y Возможны два случая: 1) М=m. 2) М m. y
Хотя бы одна из точек, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения, находится внутри [a;b]. В этом случае в указанной точке выполняются условия теоремы Ферма и, следовательно, существует точка c, принадлежащая (a;b), в которой производная . Ч.т.д. Геометрический смысл теоремы Ролля: Þ Ккас=0 Þ касательная в точке c параллельна оси ОX.
Теорема Лагранжа. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда существует точка cÎ(a;b), значение производной в которой равно . Доказательство: Введем вспомогательную функцию . Эта функция непрерывна и дифференцируема как сумма непрерывных и дифференцируемых функций.
Þ существует точка сÎ(a;b) такая, что . . Ч.т.д. Геометрический смысл теоремы Лагранжа:
. Существует точка cÎ(a;b), в которой угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту хорды, соединяющей граничные точки: . Найдется такая точка на графике, касательная в которой параллельна хорде, стягивающей концы отрезка [a;b].
Теорема Коши. Пусть функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы на интервале (a;b), причем производная функции g(x) отлична от нуля, g¢(x)¹0. Тогда существует такая точка cÎ(a;b), для которой выполняется равенство: . Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию: . непрерывна и дифференцируема как сумма непрерывных и дифференцируемых функций.
Þ существует точка сÎ(a;b): . ; . . . Ч.т.д.
Правило Лопиталя. Теорема. Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0, за исключением может быть самой точки x0, и , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. . Доказательство: Доопределим f(x) и g(x) в точке x0, положив f(x0) = g(x0) = 0. В окрестности точки x0, т.е. на (x0,х) для функций f(x) и g(x) выполняются условия теоремы Коши. Следовательно, существует точка сÎ(x0, х) такая, что , т.к. f(x0) = g(x0) = 0. Перейдем к пределу при x x0 с x0: . Ч.т.д. Замечание. На практике при раскрытии неопределенности типа можно пользоваться правилом Лопиталя и в случаях, когда x®±¥, x®¥. Для раскрытия неопределенностей типа существует аналог правила Лопиталя. Теорема. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0, за исключением самой точки x0, причем . Пусть , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. . В дальнейшем это утверждение будем также называть правилом Лопиталя. Замечание 1. Правилом Лопиталя можно пользоваться при раскрытии неопределенностей вида (¥-¥), (0×¥), (1¥), (¥0), (00), сводя их к неопределенностям типа , . Замечание 2. Если после применения правила Лопиталя опять получаем неопределенность вида или , то его можно применить повторно. Пример: Вычислить пределы по правилу Лопиталя. 1. Чтобы применять правило Лопиталя при неопределенности вида или , нужно продифференцировать отдельно числитель и знаменатель дроби, и вычислить полученный предел. . . Вывод: показательная функция (y=an) всегда растет быстрее, чем степенная (у=xn). . Вывод: логарифмическая функция (y=logax) растет медленнее, чем степенная.
2. Неопределенность вида (0×¥) нужно преобразовать в неопределенность вида или , опустив один из множителей в знаменатель в отрицательной степени, и потом применять правило Лопиталя. 3. При показательной неопределенности: (00), (1¥), (¥0); прежде чем применять правило Лопиталя, нужно прологарифмировать этот предел по основанию e. . = = =(0×¥)= = = = = =0; Þ A=e0=1.
Формулы Тейлора и Маклорена.
Пусть функция n раз дифференцируема в окрестности точки x0.Найдем многочлен степени не выше n-1, такой что , ,,…, . Такой многочлен в некотором смысле «близок» к функции . Будем искать этот многочлен в форме многочлена, разложенного по степеням , с неопределенными коэффициентами: . Неопределенные коэффициенты определим так, чтобы выполнялись перечисленные выше условия. Найдем производные от : ; ;… . Подставляя вместо , находим: , , , , …, . Отсюда Þ , , , ,…, . Искомый многочлен будет иметь вид: , или . Этот многочлен мы будем называть многочленом Тейлора. Теорема. Пусть функция n раз дифференцируема в окрестности точки x0. Тогда в этой окрестности для функции справедлива следующая формула Тейлора: + + . Здесь некоторая точка, заключенная между и (), зависящая от , а = - остаточный член в форме Лагранжа. Доказательство: Обозначим через многочлен . Ясно, что для каждого выбранного существует такое число , для которого будет выполняться равенство: . (1) Покажем, что это число при уже выбранном будет равно при некотором из промежутка . Определим функцию . Ясно, что Следовательно, доказательство мы закончим, если покажем, что в некоторой точке () будет выполняться равенство: . Непосредственными вычислениями проверяется (см. многочлен Тейлора!), что для всех выполняются равенства: (2) Число выбрано таким образом, чтобы выполнялось равенство (1) и, следовательно, . Таким образом, для функции на промежутке [ ] выполняются все условия теоремы Ролля. Следовательно, на интервале () существует такая точка , производная функции , в которой равна нулю, то есть . Но тогда с учетом (2) теорему Ролля можно применить к функции на промежутке [ ] и так далее. Применяя, в конце концов, теорему Ролля к функции на соответствующем промежутке, получим точку , для которой будет справедливо равенство . Утверждение доказано. Если x0=0, то формула Тейлора превращается в формулу Маклорена: + Заметим, что числа n могут выбираться различными, в зависимости и от наличия у функции производных соответствующего порядка, и от необходимой точности расчетов. Например, формула Тейлора для n=4 будет иметь вид:
Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
1. .
Þ , где .
2. .
Þ , где .
3. .
,… Þ , где . Пример: Разложить функцию по формуле Маклорена, взяв 4 слагаемых. Воспользуемся формулой Маклорена для функции , заменив x на (-x): . .
Приложения формул Тейлора и Маклорена.
Формулы Тейлора и Маклорена имеют широчайшее применение, как для приближенного вычисления значений целого ряда табулированных функций таких, например, как , , и др., так и для замены сложных функций при решении практических задач многочленами. В качестве примера приложения формулы Маклорена, определим количество членов в разложении функции по указанной формуле для вычисления ее значения с точностью до 0.001 при любом x из промежутка [-1,1]. Поскольку , то в остаточном члене величина удовлетворяет неравенству: . Следовательно, . Очевидно, что если мы заменим на промежутке [-1,1] функцию соответствующим многочленом Тейлора, то значения этого многочлена на указанном промежутке будут отличаться от соответствующих значений функции на величину меньшую, чем . Выбирая n из условия <0.001, мы получим, что , поскольку (). Отметим, что формула Тейлора может использоваться и при вычислении пределов.
Признаки монотонности функции. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке (a;b). Определение: Функция называется неубывающей (невозрастающей) на (a;b), если для любых x1<x2, принадлежащих (a;b), выполняется (). Определение: Функция называется возрастающей (убывающей) на (a;b), если для любых x1<x2, принадлежащих (a;b), выполняется (). Теорема 1. Для того чтобы функция , дифференцируемая на (a;b), была возрастающей, необходимо, чтобы производная на этом промежутке была неотрицательна, т.е. , и достаточно, чтобы . Доказательство: Необходимость. Пусть f(x) возрастает на (a;b). Тогда для любых выполняется . Þ Þ . По определению производной: . Достаточность. Пусть на (a;b). f(x) дифференцируема на (a;b). Выберем на этом промежутке 2 точки х1; х2. Тогда на (х1; х2) выполняется условие теоремы Лагранжа: существует точка с Î(х1; х2) такая, что . Þ (т.к. ). Þ . Þ возрастает на (a;b). Ч.т.д. Теорема 2. Для того чтобы функция , дифференцируемая на (a;b), была убывающей, необходимо, чтобы производная на этом промежутке и достаточно, чтобы . Доказательство проводится аналогично. Пример: Найти интервалы возрастания и убывания функции . . . Þ . Экстремум функции. Пусть функция определена в окрестности точки x0. Определение: Точка x0 называется точкой строгого локального максимума, если существует такая ее окрестность точки, в которой выполняется неравенство . x0 — max. Определение: Точка x0 называется точкой строгого локального минимума, если существует такая ее окрестность точки, в которой выполняется неравенство . x0 — min. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.
Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции. Если функция , дифференцируемая в точке x0, имеет в этой точке экстремум, то производная . Доказательство: Пусть для определенности точка x0 — max. Тогда по определению существует такая ее окрестность , в которой выполняется неравенство < . Т.о. на интервале в точке x0 функция принимает наибольшее значение . Тогда по теореме Ферма: . Аналогично доказывается для минимума функции. Ч.т.д. Однако, возможна ситуация, когда функция будет иметь экстремум в точке x0 в том случае, когда производная не существует. Точки, в которых производная либо равна 0, либо не существует, называются критическими точками производной. Замечание 1: Обратное утверждение не верно. Не всякая функция, производная которой в точке равна нулю или не существует, имеет в этой точке экстремум. Замечание 2. Функция имеет экстремум только в критических точках. Достаточное условие экстремума. Пусть функция определена в критической точке x0 и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, за исключением, может быть, самой x0. Если «при переходе» через точку x0 слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то x0 – точка максимума; с минуса на плюс – точка минимума.
Доказательство: Пусть производная меняет знак с «+» на «-». Тогда слева от х0, т.е. на (х0-δ,х0) . Þ слева от х0 функция возрастает. Справа от х0, т.е. на (х0, х0+δ) . Þ справа от х0 функция убывает. Т.о. в окрестности точки х0 выполняется неравенство . х0 – точка локального максимума. Аналогично доказывается для минимума. Ч.т.д. Пример: Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума. а) . 1. Область определения функции D(y)=R. 2. . Критические точки: . Þ , .
б) . 1. Область определения функции D(y): x¹-1. 2. ; . Критические точки: , т.е. числитель равен нулю Þ нет точек; – не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ .
Точек экстремума нет.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Пусть функция определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a;b] и имеет внутри этого промежутка конечную производную. Тогда по второй теореме Вейерштрасса она на этом отрезке принимает свои наибольшее и наименьшее значения. Очевидно, что эти значения могут достигаться либо в критических точках, либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции применяют следующий алгоритм решения: 1. Находим критические точки функции. Отбираем те точки, которые принадлежат данному отрезку. 2. Вычисляем значения функции в найденных точках. 3. Вычисляем значения функции на концах отрезка. 4. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее. Исследование функции на максимум и минимум с помощью производной второго порядка. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке (a;b). Теорема. Пусть существует и непрерывна в некоторой окрестности точки . Пусть . Если , то в точке функция имеет максимум; если , то в точке функция имеет минимум. Доказательство: Докажем для максимума. Пусть . Пусть . Так как, по условию, непрерывна в некоторой окрестности точки , то найдется некоторая окрестность , во всех точках которой вторая производная будет отрицательна. Так как есть производная от первой производной, т.е. , то из условия следует, что убывает на промежутке, содержащем точку , т.е. в окрестности . Так как , Тогда слева от , т.е. на (х0-δ,х0) имеем , а справа от , т.е. на (х0, х0+δ) имеем , т.е. производная «при переходе» через точку x0 слева направо меняет знак с плюса на минус. А это значит, что точка – точка максимума. Аналогично доказывается для минимума. Ч.т.д. Если в критической точке , то в этой точке может быть или максимум, или минимум или не быть ни максимума, ни минимума. В этом случае исследование проводится с помощью первой производной. Пример: Исследовать на максимум и минимум функцию. а) . 1. Область определения функции D(y)=R. 2. . Критические точки: . , Þ , . 3. .
б) . 1. Область определения функции D(y)=R. 2. . Критические точки: . Þ . 3. .
Выпуклые и вогнутые функции. Пусть функция дифференцируема на интервале (a;b). Тогда на этом интервале в каждой точке графика функции существует касательная, причем не параллельная оси OY. Определение: Функция называется выпуклой, если ее график лежит над любой касательной, проведенной к этому графику. Определение: Функция называется вогнутой, если ее график лежит под любой касательной, проведенной к этому графику. На разных участках промежутка функция может быть выпуклой или вогнутой. Признак выпуклости. Пусть функция имеет на интервале (a;b) непрерывную производную второго порядка. Если , то функция выпукла на промежутке (a;b). Если , то функция вогнута на промежутке (a;b). Доказательство: Пусть для определенности на (a;b) . Возьмем точку x0Î(a;b) и составим уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x0: (1) Разложим функцию в окрестности точки x0 по формуле Тейлора, причем возьмем два члена разложения и остаточный член: , (2) Вычтем (2) - (1): . на (a;b) . График функции проходит над касательной. Тогда по определению: функция выпукла. Вогнутость доказывается аналогично. Ч.т.д. Замечание: Условие () является не только достаточным, но и необходимым для выпуклых (вогнутых) функций. Определение: Точка, отделяющая промежуток выпуклости функции от промежутка ее вогнутости, называется точкой перегиба. Необходимые условия существования точки перегиба функции. Пусть функция в точке x0 имеет точку перегиба. Если в этой точке существует производная второго порядка, то она обращается в ноль или не существует. Точки перегиба следует искать среди точек, вторая производная которых равна нулю (y²=0) или не существует. Такие точки называются критическими точками второго рода. Достаточное условие точки перегиба функции. Пусть непрерывна в окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки . Если «при переходе» через меняет знак, то точка — точка перегиба. Доказательство: Пусть «при переходе» через точку меняет знак с «+» на «-». Тогда слева от точки — функция выпукла, а справа — вогнута. Тогда по определению: точка — точка перегиба. Ч.т.д. Пример: Исследовать функцию на перегиб. . D(y)=R. ; . Критические точки второго рода: : ; не существует: точек нет. При переходе через точки вторая производная меняет знак. Þ — точки перегиба.
Асимптоты графика функции. Определение: Прямая l называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки М на графике до прямой l стремится к нулю при удалении точки М по графику функции от начала координат. Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные, наклонные. Вертикальной асимптотой называется прямая x=a, если . Находят вертикальную асимптоту по точкам разрыва второго рода (бесконечный разрыв). Наклонной асимптотой называется асимптота, уравнение которой имеет вид: . Оказывается, что если является асимптотой, то и в уравнении определяются следующим образом , . Доказательство: По определению асимптоты: если ОМ , то |MN| 0. Þ |MQ|→0 при x→±∞, т.к. . По чертежу: . Перейдем к пределу при x→±∞: (*) Þ . . Из (*) Þ . Ч.т.д. Замечание 1: Чтобы у кривой были наклонные асимптоты, нужно, чтобы соответствующие пределы в определении k и b были конечными, причем предел при x→+∞ и предел при x→-∞ нужно вычислять отдельно. Замечание 2: Если k=0, то y=b. Наклонная асимптота в этом случае называется горизонтальной. Замечание 3: Кривая никогда не пересекает вертикальную асимптоту, а горизонтальные и наклонные асимптоты кривая может пересекать и даже бесконечное число раз. Пример: Найти асимптоты графика функции . D(y): x¹3. Þ x=3 – точка разрыва. — вертикальная асимптота. = ; = = = =3 Þ . Þ — наклонная асимптота. Схема полного исследования функции. 1. Определить естественную область D(y) определения функции. 2. Исследовать на четность и нечетность. 3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. 4. Найти асимптоты. 5. Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума. 6. Найти интервалы выпуклости графика, точки перегиба. 7. Построить график функции.
Пример: Провести полное исследование и построить график функции . 1. Область определения функции D(y): x¹1. 2. Т.к. область определения не симметрична относительно начала координат, то функция не является ни четной, ни нечетной. 3. Точки пересечения с 0x: y=0 Þ Þ x=0 Þ точка (0, 0) – точка пересечения с осями. 4. x=1 – точка разрыва. Вертикальная асимптота: — вертикальная асимптота. Наклонная асимптота: . = ; = = =1 Þ . — наклонная асимптота. 5. = = . Критические точки: , т.е. числитель равен нулю Þ , ; – не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ .
6. . Критические точки второго рода: , т.е. числитель равен нулю Þ точек нет; – не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ Þ точек перегиба нет, т.к. x=1ÏD(y).
7. График функции:
|