Точка устранимого разрыва

Вопрос 13 Определение точки разрыва

Определение

Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1. функция определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е.

называется точкой разрыва функции.

Пример

Функция не определена в точке , а значит, эта точка является точкой разрыва указанной функции

Точка разрыва первого рода

Определение

Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.

Пример

Функция в точке имеет разрыв первого рода, так как

, а

Точка разрыва второго рода

Определение

Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

Пример

Для функции точка - точка разрыва второго рода, так как .

Точка устранимого разрыва

Определение

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва.

Пример

Рассмотрим функцию . Найдем односторонние пределы и значение функции в точке :

Так как и не равны значению функции в точке, то точка - точка устранимого разрыва.