Законы сложения и умножения

Переместительный (коммутативный)закон сложения: m + n = n + m. Сумма не меняется от перестановки её слагаемых.

Переместительный (коммутативный)закон умножения: m · n = n · m. Произведение не меняется от перестановки его сомножителей.

Сочетательный (ассоциативный) закон сложения: (m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k. Сумма не зависит от группировки её слагаемых.

Сочетательный (ассоциативный) закон умножения: (m · n) · k = m · (n · k) = m · n · k. Произведение не зависит от группировки его сомножителей.

Распределительный (дистрибутивный)закон умноженияотносительно сложения: (m + n) · k = m · k + n · k. Этот закон фактически расширяет правила действий со скобками (см. предыдущий параграф "Порядок действий. Скобки").

Признаки делимости

Признаки делимости на 2, 4, 8, 3, 9, 6, 5, 25, 10, 100, 1000, 11.

Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра - ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два – нечётными.

Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последниецифры - нули или образуют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последниецифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признаки делимости на 3 и 9. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра -ноль или 5.

Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последниецифры - нули или образуют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 10. Число делится на 10, если его последняя цифра - ноль.

Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.

Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Существуют признаки делимости и для некоторых других чисел, однако они более сложные и в программе средней школы не рассматриваются.

П р и м е р. Число 378015 делится на 3, так как сумма его цифр равна:

3 + 7 + 8 + 0 + 1 + 5 = 24, а это число делится на 3. Данное

число делится на 5, так как его последняя цифра 5. Наконец,

это число делится на 11, так как суммы его нечётных цифр:

3 + 8 + 1 = 12 и чётных цифр 7 + 0 + 5 = 12 равны.

Но это число не делится на 2, 4, 6, 8, 9, 10, 25, 100 и 1000, так как …

А вот эти случаи вы проверите самостоятельно!