Система двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями второй степени

Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями

Дипломная работа

студента 5 курса специальности

1-31 03 01-02 «Математика (научно-педагогическая деятельность)»

дневной формы получения образования

Гродно 2016

РЕЗЮМЕ

«Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями»

Работа содержит: 34 страницы, 2 использованных источника литературы.

Ключевые слова: подвижные критические особые точки, дифференциальная система, свойство Пенлеве.

Целью исследования является нахождение необходимых и достаточных условий отсутствия подвижны многозначных особых точек у решений системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями.

Объектом исследования являются автономные системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями определенного вида.

Предметом исследования настоящей работы являются решения указанных систем.

В работе были использованы: метод малого параметра, метод сравнения с классическими уравнениями типа Пенлеве.

SUMMARY

«Analytical properties of the system of two differential equations with rational right-hand sides»

РЕЗЮМЕ.. 2

SUMMARY.. 3

ВВЕДЕНИЕ.. 5

ГЛАВА 1. СИСТЕМА ДВУХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ. 8

1.1. Случай . 9

1.1.1. Случай ............. 10

1.1.2. Случай ............ 12

1.1.2.1. Случай . 14

1.1.2.2. Случай . 16

1.2. Случай . 16

1.2.1. Случай ........... 17

1.2.1.1. Случай . 18

1.2.1.2. Случай . 22

1.2.2. Случай . 25

1.2.2.1. Случай . 27

1.2.2.2. Случай . 28

ГЛАВА 2. СИСТЕМА ДВУХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ. 29

2.1. Случай ................................... 31

2.2 Случай ............................. 33

2.2.1. Случай ....................................................... 36

2.2.2. Случай .................................................................. 36

Краткие выводы по главе 2. 37

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.. 38

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... 39

ВВЕДЕНИЕ

Одной из важнейших задач аналитической теории дифференциальных уравнений является задача выделения классов уравнений с систем, решения которых не имеют подвижных критических особых точек.

Л. Фукс заметил, что решения дифференциальных уравнений могут иметь особые точки, которые зависят от начальных данных. В этой связи он разделил все особые точки решений дифференциальных уравнений на подвижные и неподвижные.

Особая точка решения дифференциального уравнения, положение которой зависит от начальных данных, называется подвижной особой точкой. Если же ее положение не зависит от начальных данных, определяющих решение, то это – неподвижная особая точка.

Уравнения и системы, решения которых не имеют подвижных критических особых точек, называются уравнениями и системами типа Пенлеве.

Развитию указанного направления посвящены работы многих математиков: T. Bouquet, C. Briot, F. Bureau, J. Chazy, L. Fuchs, B. Gambier, R.Garnier, P. Painleve, E. Picard, В.В. Голубева, В.И. Громака, Н.П. Еругина, С.Г. Кондратени, Н.А. Лукашевича, И.П. Мартынова, В.В. Цагельника, А.И. Яблонского и других.

Объектом исследования в работе являются система двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями.

Целью исследования является нахождение необходимых и достаточных условий отсутствия подвижны многозначных особых точек у решений заданной дифференциальной системы.

Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи: последовательно находя необходимые условия, отсеять системы с подвижными критическими особенностями; непосредственным интегрированием или путем сравнения с классическими системами типа Пенлеве установить достаточность найденных условий.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

ГЛАВА 1.

СИСТЕМА ДВУХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.

Рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений

(1.1)

где .

Найдем условия, при которых (1.1) не имеет подвижных критических особых точек.

Введем в систему (1.1) параметр по формулам:

получим систему

отсюда

при имеем для (1.1) упрощенную систему

(1.2)

из системы (1.2) получаем:

(1.3)

где - произвольная постоянная.

Для отсутствия у решений системы (1.3) подвижных критических точек необходимо, чтобы выполнялось или

Случай.

Имеем систему

(1.4)

Введем параметр в систему (1.4) по формулам

получим систему

или

при получим для системы (1.4) упрощенную систему

(1.5)

1.1.1. Случай

Из системы (1.5) исключим и , получим дифференциальное уравнение для

(1.6)

для наличия в уравнении (1.6) свойства Пенлеве необходимо, чтобы его правая часть была полиномом по [2]. Тогда должно выполняться условие

(1.7)

с учетом условия (1.7) система (1.5) перепишется в виде

(1.8)

Уравнение (1.6), учитывая условие (1.7) запишем в виде

. (1.9)

для отсутствия подвижных критических особых точек в уравнении (1.9) необходимо, чтобы его правая часть была полиномом по не выше второй степени [2]. Тогда требуем

(1.10)

и получаем уравнение

(1.11)

интегрируя которое, получим общее решение

, и (1.12)

где - произвольные постоянные. Чтобы точка не была точкой ветвления решения (1.12) надо требовать

или (1.13)

Система (1.4), при выполнении (1.7), (1.10), (1.13) имеет вид

(1.14)

Исключая и из системы (1.14), получим уравнение

(1.15)

для отсутствия подвижных критических точек у решения уравнения (1.15) необходимо, чтобы его правая часть была полиномом по [2], т.е. необходимо выполнение условий

(1.16)

Тогда уравнение (1.15) перепишется в виде

(1.17)

Правая часть уравнения должная быть полиномом по не выше второй степени [2], т.е. требуем, чтобы выполнялись условия

условие не может выполняться, т.к. и , и уравнение (1.17) имеет подвижные критические особые точи.

1.1.2. Случай

При система (1.5) имеет вид

откуда

(1.18)

следовательно, для однозначности необходимо, чтобы (1.20) тогда система (1.4) примет вид

Вводим параметр по формулам

и получаем систему

при получим упрощенную систему

Если , то . Система не имеет подвижных критических особых точек тогда и только тогда, когда или .

Случай.

Система (1.4) имеет вид

(1.21)

Введем параметр по формулам

и получим систему

при получим для системы (1.21) упрощенную систему

(1.22)

Если , то из системы получим дифференциальное уравнение:

(1.23)

уравнение (1.23) не будет иметь подвижных критических особых точек, когда его правая часть является полиномом по не выше второй степени [2]. Поэтому требуем, чтобы выполнялись условия

(1.24)

Исключая из системы (1.22) и , и учитывая условие (1.24), получим для уравнение

(1.25)

для отсутствия подвижных критических особых точек у решения уравнения (1.28) необходимо, чтобы правая часть уравнения была полиномом по не выше второй степени [2], т.е. необходимо требовать, чтобы выполнялись условия

(1.26)

тогда уравнение (1.28) примет вид .

Пусть теперь , тогда

(1.27)

Из системы видно, что она не имеет подвижных критических точек, если .

При получаем решение . Следовательно, система (1.4) при имеет свойство Пенлеве в том и только том случае, если выполняются условия:

, (1.28)

тогда система примет вид

или . (1.29)

Теорема 1.1. Для того чтобы система (1.1) при имела свойство Пенлеве необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения (1.28) или (1.29).

Случай.

Система (1.4) примет вид

(1.30)

Система обладает свойством Пенлеве в том случае, если

. (1.31)

Теорема 1.2. Для того чтобы система (1.1) при имела свойство Пенлеве необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения (1.31).

Случай.

Имеем систему

(1.32)

1.2.1. Случай

Пусть . С помощью линейного преобразования

систему (1.1) приводим к системе вида

где

Поэтому можем в (1.32), при , считать и рассматривать систему вида

(1.33)

Найдем необходимые и достаточные условия, при которых система (1.33) не имеет подвижных критических точек. Введем в систему (1.33) параметр по формулам: .

Получим систему

при , имеем

(1.34)

Получили систему, упрощенную для системы (1.33).

Случай.

Пусть , тогда из (1.38) имеем

откуда

где - произвольные постоянные.

Для однозначности компоненты необходимо требовать .

Учитывая условия и , получаем систему

(1.35)

Из системы (1.35) исключим и , получим дифференциальное уравнение вида

(1.36)

Для того чтобы в решении уравнений (1.36) отсутствовали подвижные критические особые точки необходимо, чтобы его правая часть была полиномом по не выше второй степени [1],[2]. Поэтому требуем . , т.к. .

Учитывая условие уравнение (1.36) перепишется в виде

(1.37)

Уравнение (1.37), для отсутствия подвижных критических особых точек, должно быть полиномом по [1],[2].

Если , то надо требовать

откуда .

Тогда (1.35) запишется в виде

(1.38)

Из второго уравнения следует, что (1.38) не имеет подвижных критических особых точек, если только

(1.39)

Пусть , тогда уравнение (1.44) перепишется в виде

(1.40)

где

.

Для отсутствия подвижных критических особых точек, в решении уравнения (1.40) требуем, чтобы . Откуда необходимо

,

что имеет место, если

(1.41)

Уравнение (1.40) примет вид

(1.42)

Если , то необходимо и достаточно, чтобы .

Пусть , тогда уравнение (1.42) перепишется в виде

(1.43)

где (1.44)

Если , (1.45)

то имеем уравнение

(1.46)

Уравнение (1.43) не имеет подвижных критических особых точек, если .

Уравнение (1.46) также не имеет подвижных критических особых точек.

Теорема 1.3. Для того чтобы система (1.1) при имела свойство Пенлеве необходимо и достаточно, чтобы .

Теорема 1.4. Для того чтобы система (1.1) при имела свойство Пенлеве необходимо и достаточно, чтобы и выполнялись соотношения , или , или , (1.44).

Случай.

Пусть . Исключая из системы (1.34) и получаем уравнение

(1.47)

Выполнив замену , получим

.

Так как , то это уравнение не будет иметь подвижных критических особых точек, когда

(1.48)

Пусть , . Тогда с помощью линейного преобразования система (1.33) приводится к системе, у которой . Поэтому будем рассматривать систему вида

(1.49)

В систему (1.57) введем параметр по формулам

тогда она примет вид

при , имеем упрощенную систему

(1.50)

Если , то из (1.50) имеем

или . Решение системы , где - произвольные постоянные. Для однозначности решения необходимо требовать, чтобы . Если , то из (1.50) имеем Подставляем и во второе уравнение системы (1.50). Получим

Для отсутствия у этого уравнения критических особенностей необходимо, чтобы правая часть уравнения была полиномом относительно [1],[2], что имеет место при . Тогда система (1.49) примет вид

(1.51)

Если , то исключая из системы , получаем уравнение второго порядка для

(1.52)

Уравнение (1.52) имеет подвижные критические особенности.

При , система (1.51) перепишется в виде

(1.53)

Если , то , где - произвольная постоянная, и первое уравнение (1.53) является уравнением Риккати , а значит, не имеет подвижных критических особых точек.

Пусть , тогда из первого уравнения системы (1.53) имеем:

Подставляя эти выражения во второе уравнение системы (1.53), получим уравнение

(1.54)

Если , получим уравнение

(1.55)

Если

!!!!! Исключаем и получим для уравнение второго порядка

(1.64)

Для отсутствия подвижных критических особых точек у этого уравнения требуем, чтобы .

Если (1.65)

то уравнение (1.64) имеет вид

Это уравнение не имеет подвижных критических особых точек только если

, где или (1.66)

Если , (1.67)

то уравнение (1.64) имеет вид

(1.68)

Выполнив в (1.68) замену получим уравнение

,

имеющее свойство Пенлеве.!!!!!!!!!!

Случай.

Система (1.32) примет вид

(1.59)

С помощью линейного преобразования система (1.59) приводится к системе, у которой . Поэтому будем рассматривать систему вида

(1.60)

Исключая и из системы (1.60), получим уравнение

(1.61)

Уравнение (1.61) не будет иметь подвижных критических особых точек, когда его правая часть будет полиномом по не выше второй степени [1],[2], поэтому надо требовать .

Учитывая это условие, система (1.60) перепишется в виде

(1.62)

Линейным преобразованием приводим систему (1.62) к виду

(1.63)

Найдем необходимые и достаточные условия, при которых система (1.63) не имеет подвижных критических точек. Введем в систему (1.63) параметр по формулам: .

Получим систему

При , имеем

(1.64)

Получили систему, упрощенную для системы (1.63).

Случай.

Пусть . Тогда из (1.64) имеем

откуда где - произвольные постоянные.

Для однозначности компоненты необходимо требовать , тогда получаем систему:

(1.66)

Полное аналитическое исследование дробно-линейных систем второго порядка было проведено в работе [22].

Случай.

Из системы (1.64) получим , тогда . Отсюда

(1.67)

Уравнение (1.67) не имеет подвижных критических особых точек в том и только в том случае, когда .

Теорема 1.5. Для того чтобы система (1.1) при имела свойство Пенлеве необходимо и достаточно, чтобы .