Задачи для подготовки к экзамену

1. На комплексной плоскости изобразить область, заданную неравенствами:
а) .
б) .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Выполнить действия:

1) ; 2) ; 3) ,

4) ; 5) ; 6) .

4. Решить уравнение на множестве ℂ:
1) ; 2) .

5. Найти область определения функций:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .

6. Дана функция . Показать, что , ; .

7. Дана функция . Показать, что , ;.

8. Найти полный дифференциал функций:

1) ; 2) ;. 3) .

9. Найти все частные производные и полный дифференциал второго порядка:

1) ; 2) ; 3) .

10. Найти производные неявных функций, заданных уравнениями:

1) ; 2) .

11. Найти dz для функции , заданной неявно .

12. Составить уравнение касательной и нормали в точке М₀(1; 1) к кривой у = у(х), заданной неявно уравнением .

13. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности , определённой неявно уравнением в точке Р₀(2;-3;2).

14. Найти плоскость, параллельную касательной плоскости к поверхности в точке .

15. Найти прямую, параллельную нормали к поверхности в точке .

16. Исследовать на экстремум функции:

1) ;

2) ;

3) .

17. Найти градиент скалярного поля в точке .

18. Даны функция , точка А(1; 1) и вектор . Найти:

1) ;

2) Производную в точке А по направлению .

19. Найти неопределённые интегралы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) .

20. Вычислить:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

21.. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
1) 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

22. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) и ;
2)
3) ;
4)

23. Найти объём тела, полученного при вращении фигуры, ограниченной линиями:
1) , вокруг оси ;
2) вокруг оси ординат;

24. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс арки циклоиды

25. Найти длину дуги кривой:
1) ;
2) .

26. Вычислить длину петли:

27.. Найти площади поверхности, образованной вращением кривой , заключённой между прямыми и вокруг оси Ох.

28. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;;

8) ;

9) ;

10) ;

11)

12)

13) ;

14)

15) ;

16) ;

17)

18)

29. Найти частный интеграл дифференциального уравнение , удовлетворяющий начальному условию .

30. Решить задачу Коши , .

31. Решить задачу Коши , .

32. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: .

33. Решить задачу Коши:
1) , , .
2) , .

34. Решить системы дифференциальных уравнений:

1) ; 2) .

35. Решить задачу Коши: .

36. Вычислить:

1). , где область D ограничена линиями: и ;

2) , где область D ограничена линиями; , , ;

3) , где область D ограничена линиями; , ;

4) , где область D ограничена линиями , .

37. Вычислить площадь плоской области D, ограниченной линиями:

1) у=2, . 2) x = 2, .

38. Вычислить объёмы тел, ограниченных поверхностями:

1) ;

2) ;

3) ;

4) х = 0, у = 0, z = 0, x = 4, y = 4, ;

5) х = 0, z = 0, , .

39. Найти массу пластины D: с поверхностной плотностью .

40. Найти массу круглой пластины D: с поверхностной плотностью .

41. Найти момент инерции квадратной пластины и относительно осей координат и начала координат, если плотность пластины .

42. Найти координаты центра тяжести однородной пластины с плотностью , ограниченной параболами: и .