Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Матричная форма записи уравнений установившегося режима ⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8
Уравнения установившегося режима в форме баланса токов: , (1) где - напряжение в рассматриваемом i – м узле и напряжения в смежных узлах j. Это неизвестные величины; yij – взаимная проводимость узлов ; yij – собственная проводимость i – го узла (2)
уі0
- поперечная проводимость участков подходящих к i – у узлу: (3) Поперечные проводимости транс- Поперечная проводимость формирующих участков линии
yi0 – собственная проводимость устройств, подключенных непосредст-венно в i – м узле; - заданные мощность или ток. Уравнение (1) сформировано на основе метода узловых потенциалов, за-писано для одного і – го узла сети. Для схемы, состоящий из n узлов записы-вается n таких уравнений с n комплексными неизвестными.
Запишем систему уравнений вида (1) для абстрактной схемы электрической сети, состоящей из n узлов:
(4)
Эта система уравнений описывает режим роботы ЭС в целом. Запишем эту систему в матричной форме:
(5)
. (6)
Здесь Y – матрица коэффициентов при неизвестных – матрица собственных и взаимных проводимостей (матрица проводимостей); - вектор неизвестных – вектор напряжений; D – диагональная матрица, на главной диагонали которой расположены величины, обратные сопряженному комплексу напряжений в узлах. Остальные элементы матрицы - нули; - вектор сопряженных комплексов заданных мощностей в узлах; - вектор заданных токов в узлах.
Матрица собственных и взаимных проводимостей Y Ее элементами являются проводимости узлов и участков. На главной диа-гонали расположены собственные проводимости узлов, определяемые по фор-муле (2). Вне главной диагонали - взаимные проводимости узлов, взятые с об-ратным знаком. Матрица квадратная, симметричная. Если узлы сети соединены между собой, то их взаимная проводимость отлична от нуля (Yij = 1/Zij). Если узлы между собой не связаны, то Yij = 0. Т.к. реальные сети имеют большое количество узлов, а каждый узел имеет не-большое число связей с другими узлами (до 10), то строки матрицы и матрица в целом содержат большое количество нулевых элементов (матрица слабоза-полненная или разреженная). Каждая строка матрицы соответствует одному узлу сети и его связям. По структуре матрицы проводимостей можно определить схему сети и ее параметры. То есть матрица проводимостей представляет собой модель схемы электрической сети.
Пример: Дана матрица проводимостей. По её структуре определим схему сети:
Уравнения (5) и (6) представляют собой математическую модель режи-ма работы ЭС в общем виде.
Лекция 9 Свойства матрицы проводимости: 1. При отсутствии в сети трансформаторов с комплексными коэффициен-тами трансформации, матрица является симметричной, то есть выполняется принцип взаимности Yij = Yji; 2. Матрица является слабозаполненной, так как содержит большое коли-чество нулевых элементов. Причина - если узлы не связаны между собой, то их взаимная проводимость равна нулю (yij = 0), а в реальных сетях каждый узел связан с небольшим числом узлов; Свойства 1 и 2 используются для компактного хранения матрицы проводимостей в памяти ЭВМ (хранятся только ненулевые элементы и их координаты). Количество собственных проводимостей равно количеству узлов в сети, количество взаимных проводимостей равно числу ветвей (с учетом симметричности матрицы). 3. Матрица проводимостей неособенная, то есть её определитель , следовательно она имеет обратную матрицу.
Пример: Составить матрицу проводимостей для схемы
Собственные проводимости узлов схемы: В памяти ЭВМ запоминается верхняя половина матрицы (её ненулевые элементы).
Система уравнений (4) – это система уравнений узловых напряжений в форме баланса токов, записана для всех узлов сети и содержит n уравнений относительно n неизвестных напряжений в узлах. В таком виде она не может дать искомое решение для всех комплексных напряжений, так как: 1. Если является решением (i= 1 … n) системы уравнений, то тоже является решением, так как это соответствует пово-роту всех векторов напряжения на угол . Множитель входит во все решения и может быть сокращен. Задавая разные значения можем получить множество решений системы уравнений; 2. Если в узлах не задать (не зафиксировать) ни од-ного напряжения, то можно получить решение, не имею-щее практического смысла (например, отрицательные напряжения в узлах, либо напряжения не соответствую-щие своему классу напряжений и т. д.). При этом баланс токов в узлах будет соблюдаться.
Решение этой проблемы: в сети выбирают один (или несколько) узлов, в которых фиксируют модуль и угол напряжения. Это узлы с фиксацией векто-ра напряжения (ФВ). Такие узлы называются базисными или опорными по напряжению = const. В сети должен быть хотя бы один такой узел. Во всех остальных узлах схемы напряжения рассчитывается относи-тельно опорного. В схеме им соответствуют, как правило шины электростан-ций или мощных подстанций. Как правило опорный узел по напряжению сов-падает с балансирующим по мощности. Для упрощения расчетов часто задают . Задание в некоторых узлах сети векторов напряжения, т.е. выделение в схеме сети опорных узлов с ФВ (которые совпадают с балансирующими) приводит к уменьшению числа неизвестных в системе уравнений (4) и необхо-димости исключения из неё уравнений, соответствующих этим узлам (т.к. уменьшается число неизвестных напряжений).
Пример: Запишем для схемы систему уравнений вида (4):
Система уравнений в матричной форме:
В качестве спорного узла выберем узел 4. Напряжение в нём задано. Нужно исключить из системы уравнение, соответствующее опорному узлу – уравнение 4. Это соответствует четвёртой строке в матрице и в вектор – столб-це. В матрице выделим столбец и строку, соответствующие опорному узлу – номер 4 – они содержат его взаимные проводимости с другими узлами схемы. В матрице и векторах выделяются блоки и субвектора: YiОП – вектор – столбец взаимных проводимостей между узлами сети и опорным узлом; YОПj – вектор – строка взаимных проводимостей между опорным узлом и другими узлами сети; Y – неполная матрица проводимостей, получаемая из полной удалением строк и столбцов соответствующих опорным узлам; YОПОП – собственная проводимость опорного узла; - заданные напряжения в опорных узлах и токи в них; - вектор искомых напряжений в узлах сети; - вектор заданных токов в узлах сети.
С учётом этого в блочной форме система уравнений может быть записана: .
Удаляем элементы (блоки), соответствующие уравнениям опорных узлов - YОПj, YОПОП, IОП. Тогда по правилам умножения блочных матриц получаем: . Переносим известные величины в правую часть: . Это система уравнений установившегося режима в матричной форме. Это уравнения в виде баланса токов. Линейные уравнения.
В результате преобразований можно получить другой вид этой системы урав-нений: .
При задании в узлах сети нелинейных источников тока (генераторы или нагрузки с постоянной мощностью), установившийся режим описывается нели-нейными уравнениями: Эти уравнения – нелинейные уравнения установившегося режима в форме баланса тока. При задании в узлах нелинейных источников тока установив-шийся режим сети можно описать, также, нелинейными уравнениями в форме баланса мощности. В результате преобразований уравнения баланса мощности в матричной форме будут иметь вид:
Здесь - диагональная матрица, на главной диагонали которой рас- положены сопряженные комплексы напряжений; S - заданные мощности в узлах.
Лекция 10 Пример1: В качестве опорного узла выбираем узел 1, т.е. напряжение задано. Нужно опреде-лить . Запишем систему уравне-ний форме: Составляем уравнения установившегося режима для всех узлов сети: Первое уравнение исключаем, переносим элементы, содержащие заданное напряжение U1 опорного узла в правую часть: Получаем систему из трёх линейных уравнений относительно 3-х неиз-вестных напряжений . В её правой части – известные величины. В матричной форме она имеет вид:
Пример 2: Составить систему линейных уравнений в форме баланса токов для задан-ной схемы. Записать матрицу проводимостей, вектор неизвестных и вектор свободных членов.
Неизвестны – напряжения Ui =?, i = 2…7.
| y22 0 0 0 0 0 | U2 I2 + y21U1 | 0 y33 -y34 0 -y36 0 | U3 I3 + y31U1 | 0 -y43 y44 -y45 0 0 | U4 I4 Y = | 0 0 -y54 y55 0 0 |; U = U5; I = I5 . | 0 -y63 0 0 y66 -y67 | U6 I6 | 0 0 0 0 -y76 y77 | U7 I7
Пример 3: Составить систему уравнений в форме баланса мощностей. Сначала составим полную систему уравнений в форме баланса токов. Представим токи в узлах в виде:
Умножим обе части каждого уравнения на сопряженный комплекс соот-ветствующего напряжения Ui:
Получили систему нелинейных уравнений в форме баланса мощности. Неизвестными в ней является напряжения в узлах.
|