Основные параметры переменного тока

При подключении к источнику переменного тока с синусоидально изменяющейся э. д. с. электрических цепей с линейными сопротивлениями в них будут действовать синусоидально изменяющиеся напряжения и проходить синусоидально изменяющиеся токи. Переменные токи, э. д. с. и напряжения характеризуются четырьмя основными параметрами: периодом, частотой, амплитудой и действующим значением.

Период. Промежуток времени Т, в течение которого э. д. с, напряжение и или ток i (рис. 169, а) совершают полный цикл изменений, называется периодом. Чем быстрее вращается виток или ротор генератора переменного тока, тем меньше период изменения э. д. с. или тока.

Частота. Число полных периодов изменения э. д. с, напряжения или тока в 1 с называется частотой,

f = 1 / T

Она измеряется в герцах (Гц), т. е. числом периодов в секунду. Чем больше частота, тем меньше период изменения тока, напряжения или э. д. с. (рис. 169,б). В Советском Союзе все электрические станции переменного тока вырабатывают ток, изменяющийся с частотой 50 Гц, т. е. 50 периодов в секунду. В автоматике и радиотехнике применяют электрические токи и более высоких частот. Такие частоты измеряются в килогерцах (1 кГц=10³ Гц) и мегагерцах (1 МГц=10⁶ Гц).

Рис. 169. Кривые изменения синусоидального переменного тока при различной частоте

Из рис. 169,а следует, что в течение времени одного периода Т фаза?t тока (э. д. с. или напряжения) изменяется на угол 360°, или 2? радиан. Поэтому

? = 2?/T = 2?f

Эту величину называют угловой частотой переменного тока, она имеет размерность рад/с.

Амплитуда. Наибольшее значение переменного тока (переменных э. д. с. и напряжения) называют амплитудным значением, или амплитудой. В рассмотренном нами простейшем генераторе переменного тока (см. рис. 168, а) э. д. с. е дважды достигает амплитудного значения: во время первого полуоборота +Е_т (направлена от начала витка к его концу), а во время второго полуоборота — Е_т (направлена от конца витка к его началу). Точно так же за один период ток i 2 раза достигает амплитудного значения: I_т и — I_т. Амплитудное значение тока, напряжения и э. д. с. в формулах обозначают соответствующими буквами с индексами «т», т. е. I_т U_т, Е_т и др.

Действующее значение. Ток, напряжение и э. д. с, действующие в электрической цепи в каждый отдельный момент времени, определяются так называемыми мгновенными значениями. Эти значения принято обозначать строчными буквами i, и, е. Однако судить о переменных э. д. с, токе или напряжении по их мгновенным значениям неудобно, так как эти значения непрерывно меняются. Поэтому оценивать способность переменного тока совершать механическую работу или создавать тепло принято по действующему его значению. Под действующим значением переменного тока понимают силу такого постоянного тока (прямая 2 на рис. 169,а), который, проходя по проводнику в течение некоторого времени (например, в течение одного периода или 1 с), выделит в нем такое же количество тепла (произведет такую же механическую работу), как и данный переменный ток (кривая 1). Действующие значения тока, напряжения и э. д. с. обозначают соответственно I, U, Е.

При синусоидальном переменном токе

I = I_т /?2 = 0,707 I_т

Если известно действующее значение тока I, то его амплитудное значение

I_т =?2 I = 1,41 I

Аналогично для синусоидальных напряжений и э. д. с.

U / U_т = Е₁ / Е_т = 1 /?2 = 0,707

На практике для характеристики параметров переменного тока используют, главным образом, действующие значения тока, напряжения и э. д. с. Например, когда говорят, что напряжение в осветительной сети переменного тока составляет 220 В или что по цепи проходит ток 100 А, то это значит, что в данной сети действующее значение напряжения равно 220 В или что действующее значение тока, проходящего по данной цепи, равно 100 А. Электрическая энергия и механическая работа, создаваемые переменным током в различных электрических устройствах, пропорциональны действующим значениям тока и напряжения. Большая часть существующих приборов для измерения переменного тока измеряет действующие значения тока, напряжения и э. д. с.

СИНУСОИДАЛЬНЫЙ ТОК. ФОРМЫ ЕГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
В практике электротехники в качестве переменного тока широкое применение нашел ток синусоидальной формы. Это обусловлено рядом преимуществ:

-генераторы синусоидального тока значительно дешевле в производстве, чем генераторы постоянного тока;

- переменный ток легко преобразуется в постоянный;

- трансформация и передача электрической энергии переменным током экономичнее чем постоянным;

-двигатели переменного тока имеют простую конструкцию, высокую надежность и невысокую стоимость.

В настоящее время переменный ток применяется в промышленном приводе и в электроосвещении, в сельском хозяйстве и на транспорте, в технике связи и в быту. Производство электрической энергии также осуществляется на переменном токе. Огромную роль в деле внедрения переменного тока сыграли русские ученые П.Н.Яблочков и М.О.Доливо-Добровольский.
1.Основные параметры синусоидального тока
Переменным называют ток (напряжение, ЭДС), изменяющийся во времени по величине и направлению. Синусоидальный ток может быть представлен посредством действительной функции времени - синусной и косинусной, например:

(2.1)
где I_m - максимальная амплитуда тока (амплитудное значение);

w - угловая частота, причем ;

f - частота колебаний [Гц];

Т - период [C];

j _i - начальная фаза, определяет значение тока в момент времени t =0, т.е.

i (t =0) = I_m × sin j_i.
На рис. 2.1 приведен график двух колебаний с разными начальными фазами j _{1 и} j ₂, причем j ₁ > j ₂. Амплитуда гармоник проходит через нуль, когда:

w t + j = pn (n = 0,1,2...), т.е. в моменты
.
Так как j ₁> j ₂, то t ₁ имеет место раньше t ₂:

Рис.2.1
Начальная фаза часто задается в градусах. Поэтому при определении мгновенного значения тока аргумент синуса (слагаемые wt и j) нужно привести к одной единице измерения (рад. или градус).

Иногда гармоническое колебание представляется в косинусной форме. Легко видеть, что для перехода к такой форме в (2.1) достаточно изменить лишь начальную фазу, т.е.:

Промышленная частота переменного тока в России и всех странах Европы равна 50 Гц, в США и Японии - 60 Гц, в авиации - 400 Гц. Снижение частоты ниже 50 Гц ухудшает качество освещения. Увеличение частоты ухудшает условия передачи электроэнергии на большие расстояния.

Выражение для синусоидального напряжения аналогично (2.1), т.е.:
u (t) = U_m × sin (wt + j_u) (2.2)
Аналогично (2.1) определяются и основные параметры напряжения.

Кроме уже названных параметров, в практике электротехники часто пользуются понятиями среднего и действующего значений тока и напряжения. Рассмотрим их.

Под средним значением синусоидального тока понимают его среднее значение за полпериода:
(2.3)
Видим, что среднее значение синусоидального тока составляет 2/ p» 0,64 от амплитудного. Аналогично определяется среднее значение синусоидального напряжения
.
Действующим называют среднее квадратичное значение синусоидального тока (напряжения) за период:
.
Так как:

,
то:

.
Видим, что действующее значение синусоидального тока составляет 0,707 от амплитудного. Аналогично определяется действующее значение синусоидального напряжения:
.
Если говорят о значениях переменного тока или напряжения, то, как правило, подразумевают их действующее значения. Например, напряжение в однофазной сети переменного тока 220 В - действующее. При этом амплитудное значение U_m @ 310 В.

2.Представление синусоидального тока (напряжения) радиус - вектором.
При анализе состояния электрических цепей переменного тока возникает необходимость вычисления суммы или разности колебаний одинаковых частот, но с разными амплитудами и начальными фазами. Решать такую задачу с помощью рассмотренной формы представления (т.е. с помощью тригонометрических функций) достаточно трудно.

Пусть нужно найти ток i (t) = i ₁(t) + i ₂(t), причем:
i ₁(t) = I_{m 1}× sin (w t + j ₁),
i ₂(t) = I_{m 2}× sin (w t + j ₂).
Так как частоты колебаний одинаковы, то задача сводится к нахождению суммарных амплитудного значения I_m и начальной фазы j. Если применить для решения известные тригонометрические преобразования, то получим:
,
.
Видим, что даже окончательный результат имеет громоздкий и ненаглядный вид.

Значительное упрощение достигается применением графического метода. Векторное представление синусоидальных величин известно из тригонометрии. Синусоидальный ток (напряжение) изображается в виде радиус-вектора, вращающегося против часовой стрелки с частотой w. Длина вектора равна амплитудному значению - I_m. Один оборот вектор совершает, за время периода (рис.2.2).

Положение радиус-вектора относительно оси Х в момент начала отсчета t =0 определяется углом j. Проекция вектора на ось Y определяется выражением (2.1).

На одной векторной диаграмме могут быть изображены векторы нескольких колебаний, например i ₁(t) и i ₂(t) (рис. 2.3). Для упрощения анализа все векторы изображаются в момент времени t =0. Тогда сумма двух векторов определится по правилу параллелограмма. Результирующий радиус-вектор также вращается относительно начала координат с частотой w, а его проекция на ось Y определяется выражением
i (t) = I_m × sin (w t + j),
где j - положение суммарного вектора относительно оси Х в момент времени t =0.

Простота решения очевидна. Однако графический метод обладает существенным недостатком - низкой точностью. Поэтому его применяют чаще всего для качественного анализа электрических цепей с помощью топографических векторных диаграмм напряжений.

Для построения топографической векторной диаграммы в анализируемой электрической цепи выделяют несколько участков по направлению обхода. Падение напряжения на каждом участке может быть определено вектором. Устанавливая каждый последующий вектор (по направлению обхода) в точку конца предыдущего вектора получим топографическую векторную диаграмму напряжений. Вектор между любыми двумя точками этой диаграммы характеризует напряжение между соответствующими точками электрической цепи.

1. 
   Комплексное изображение синусоидального тока.

Комплексное представление синусоидальных токов и напряжений позволяет совместить простоту и наглядность векторного представления с точностью представления действительными функциями времени. Для перехода от графического к комплексному представлению, заменим оси декартовой системы координат (рис.2.2) следующим образом:

-ось ^ Х на ось действительных чисел R_e;

-ось Y на ось мнимых чисел J_m (рис.2.4).

При этом длина вектора тока (напряжения) по-прежнему определяется амплитудным значением, но обозначается как комплексная величина, т.е. . Угол наклона вектора к оси реальных чисел R_e в момент времени t =0 остается прежним, т.е. j.

Обозначим проекцию вектора на ось реальных чисел i ^/ = I_m ×cos j, а проекцию на ось мнимых чисел = I_m × sin j. Тогда очевидно, что:

, (2.5)
где j - мнимая единица, причем -

Выражение (2.5) определяет комплексную алгебраическую форму представления синусоидального тока. Она удобна для выполнения действий сложения и вычитания токов (напряжений).

Действительно, для сложения двух комплексных чисел достаточно отдельно сложить действительные и мнимые числа.

Подставим в (2.5) вместо и их значения. Тогда получим:
İ , (2.6)
где - модуль комплексного представления тока, численно равный амплитудному значению.

Выражение (2.6) определяет комплексную тригонометрическую форму представления синусоидального тока. Из рис. 2.4 очевидно, что:
, а . (2.7)
Видим, что выражения (2.7) характеризуют параметры синусоидального тока, не зависящие от времени - действительную амплитуду и начальную фазу j. Они позволяют легко перейти от комплексной формы представления к представлению действительными функциями времени.

Введем в (2.5) зависимость от времени. Тогда:
İ , (2.8)
где
Теперь очевидно, что реальная часть (2.8) характеризует реально существующее колебание, описываемое действительной косинусной функцией, мнимая часть - это же колебание в синусной форме.

С помощью формулы Эйлера от (2.6) переходят к показательной форме комплексного представления тока:
İ , (2.9)
а с учетом зависимости от времени:

İ_m İ_{m .} (2.10)
Комплексная показательная форма удобна для выполнения действий умножения, деления, возведения в степень или извлечения корня. Действительно, для умножения двух комплексных чисел в показательной форме (2.9) достаточно перемножить их модули, а аргументы (показатели степени) сложить.

Представим токи и напряжения на пассивных элементах, обладающих активным сопротивлением, емкостью и индуктивностью в комплексной форме. Пусть имеем:

İ İ ;
Для элемента с активным сопротивлением справедливо равенство:
.
Перепишем это равенство в показательной форме:

(2.11)

Но равенство (2.11) возможно только в том случае, когда . Таким образом, мы пришли к важному выводу о том, что на элементе с активным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе, т.е. максимумы тока и напряжения имеют место в один и тот же момент времени, Векторы тока и напряжения будут совпадать (рис. 2.5).

Для элемента обладающего емкостью известно выражение:

Применяя к нему комплексную форму представления тока и напряжения получим:
.
Учитывая, что приходим к выражению:
,

или:

Таким образом, видим, что напряжение на емкости отстает от тока на 90^о (см. рис.2,6)

Для элемента, обладающего индуктивностью, воспользуемся выражением (1.11). Тогда:

или:

(2.13)
Видим, что напряжение на индуктивности опережает ток на 90^о (см. рис. 2.7).

УРОК №30

Активное и реактивное сопротивления: временные и векторные диаграммы токов и напряжения.

В электрической цепи переменного тока существует два вида сопротивлений: активное и реактивное. Это является существенным отличием от цепей постоянного тока.