Метод расчета пластины в балочных функциях

1.1. Основы метода. Рассмотрим пластину в декартовой системе координат (рис.).

К расчету данной пластины по классической теории используем следующий метод, который реализуется в следующей последовательности.

1.Функция прогибов (W)

(2.127)

где W ₀ - максимальный прогиб; X(x), Y(y) - нормированные балочные безразмерные функции; x, y - безразмерные координаты.

2.Углы поворотов пластины ( ₁, ₂).

(2.128)

3.Кривизны и кручение .

(2.129)

4. Изгибающие (M₁,M₂) и крутящий (M₁₂) моменты.

(2.130)

где D – цилиндрическая жесткость пластины, - коэффициент Пуассона, m - отношения квадрат сторон пластины.

5. Поперечные силы (Q₁,Q₂).

(2.131)

6. Интенсивность внутренних усилий (P).

; (2.132)

7. Основное уравнение равновесия пластины

а) в размерных координатах:

(2.133)

б) в безразмерных координатах:

(2.134)

где K_N – параметр критической нагрузки, - частотный параметр свободных колебаний, q^*₀ - параметр нагрузки, S(x,y) -закон изменения интенсивности внутренних усилий, V(x,y) - закон изменения интенсивности внутренних усилий от мембранных напряжений; - закон изменения мембранных напряжений; - закон изменения интенсивности внешней поперечной распределенной нагрузки.

8. Выполнение уравнения равновесия пластины осуществляется:

а) при равенстве работ:

(2.135)

б) при равенстве равнодействующих:

(2.136)

в) при равенстве интенсивностей:

(2.137)

где – безразмерные координаты пластины в характерной точке

9. граничные (контурные) условия пластины при изгибе для края x₁=x₁^*=const.

а) шарнирно опертого:

(2.138)

б) защемленного:

(2.139)

в) свободного:

(2.140)

где K₂ - собственное число уравнения

Второе условие при решении задачи устойчивости запишутся так:

(2.141)

10. основные задачи пластины имеют решения

а) при изгибе

б) при устойчивости (2.142)

в) при колебаниях

11. Погрешность предлагаемого метода вычисляются по формулам:

(2.143)

где - точные значения параметров, q₀^*,K_N,K -параметры, вычисленные предложенным методом.

1.2 Балочные функции.

А) при изгибе под действием равномерно распределенной нагрузки

1.концы балки шарнирно оперты:

(2.144)

2. концы жестко защемлены:

(2.145)

3.концы балки имеют комбинированные закрепления:

(2.146)

Б) При потери устойчивости

1.концы балки шарнирно оперты:

(2.147)

2. концы балки закреплены:

(2.148)

3.консольная балка:

(2.149)

4. концы балки свободные:

(2.150)

5.концы балки имеют комбинированные закрепления:

(2.151)

1.3. Алгоритм расчета пластины.

Расчет любой пластины производится в следующей последовательности.

1.Выбрать расчетную схему пластины в соответствии с граничными условиями.

2. В зависимости от типа задачи пластины (изгиб, устойчивость, колебания) подбираются функции согласно формулам (2.144)-(2.151). При этом при решении задач изгиба и свободных колебаний (2.144)-(2.146).

3. По условию задачи определить , используя (2.135)-(2.137).

4. Вычислить их погрешности по 17 и сделать соответствующий вывод.

5. Результаты представить в виде эпюр используя (2.127)-(2.136).

6. Анализировать полученные результаты и сделать соответствующие выводы на основании функции прогибов (2.127).

а) для задачи изгиба деформированное состояние и напряженное состояние (M₁,M₂,M₁₂,Q₁,Q₂);

б) для задачи устойчивости функции прогибов (2.127) (форма потери устойчивости) и параметр нагрузки .