Прямом изгибе. Основные определения и формулы

Определение перемещений в балках и рамах при

При изгибе ось балки искривляется (рис.1.1), что сопровождается появлением прогибов v (х) и углов поворота поперечных сечений j(х) = , которые принимаются равными углам наклона касательной к изогнутой оси. Эти величины называются линейными и угловыми перемещениями.

Для определения законов изменения прогибов балок v (х) при прямом изгибе используются дифференциальные уравнения второго порядка

, (1.1)

или четвёртого порядка

, (1.2)

где EJ –жёсткость балки при изгибе; М (х) – изгибающий момент в поперечном сечении; q (x) – распределённая поперечная нагрузка.

При определении перемещений с помощью метода начальных параметров используется выражение

Здесь – начальные параметры, представляющие собой прогиб, угол поворота, изгибающий момент и поперечную силу в начальном

Рис.1.2

сечении х = 0 и Dj – скачок угла поворота в промежуточном шарнире. Формула (1.3) соответствует воздействиям и участкам, показанным на рис.1.2.

Неизвестные в начале расчёта начальные параметры и скачки Dj подлежат определению из соответствующих граничных условий.

Общим методом определения перемещений в стержневых системах является метод Мора. метод Мора сводится к вычислению интегралов, которые представляют собой работу единичных сил или единичных моментов на искомых перемещениях.

Для балок и рам используется формула Мора, содержащая изгибающие моменты

. (1.4)

Здесь – изгибающий момент, от действия единичной силы или единичного момента, прикладываемых по направлению искомого перемещения; М_Р – изгибающий момент от действия заданных нагрузок. При определении линейных перемещений прикладывается единичная сила, а при определении угловых перемещений – единичный момент.

, (1.5)

на простые фигуры, у которых известны площадь и положение центра тяжести. Наиболее часто элементами разбиения являются трапеции и квадратные параболы. Площадь квадратной параболы на участке длиной l с нулевыми начальным и конечным значениями определяется по формуле

, (1.6)

где q – интенсивность равномерно распределённой нагрузки.

Если эпюры М_Р и на участке длиной l представляют собой трапеции (рис.1.4), то формулу (1.5) можно привести к следующему виду (формула «перемножения» трапеций):

Решение задач

Задача 1.1.

Для шарнирно опертой балки (рис.1.5, а) построим эпюры Q и М и подберем сечение из условия прочности в виде стального прокатного двутавра. Определим с помощью метода начальных параметров и метода Мора значения

Определяем опорные реакции

S М_А = 0, 10 – 15×1 – 10×3×2,5 +

+ 4 R_B = 0, R_B = 20 кН;

S М_В = 0, 10 + 15×3 + 10×3×1,5 –

– 4 R_А = 0, R_А = 25 кН;

S Y = 0 (проверка), 15 + 10×3 –

– 25 – 20 = 45 – 45 = 0.

, х ₀ = 2 м;

Определяем расчетное значение наибольшего изгибающего момента.

Требуемый момент сопротивления сечения равен:

По сортаменту принимаем: I18, W_z = 143 см³, J_z = 1290 см⁴.

Составим с помощью формулы (1.3) выражение для прогиба балки в пределах трех характерных участков.

Начальные параметры равны:

х = 0, М ₀ = –10 кНм, Q ₀ = 0.

Для определения неизвестных начальных параметров v ₀ и j₀ используем граничные условия:

;

.

Решаем систему алгебраических уравнений.

Результаты определения v ₀ и j₀ с помощью метода начальных параметров и метода Мора практически совпали. Запишем окончательные выражения для v (х) и j(х).

Вычислим значения v и j в характерных сечениях балки.

(граничное условие),

(граничное условие),

В качестве проверки вычислим некоторые значения v и j с помощью метода Мора. Соответствующие единичные эпюры приведены на рис.1.7, а, б.

Результаты вычислений практически совпали. Строим эпюры v и j, отметив их особенности (рис.1.5, г, д). Ординаты эпюр умножены на жесткость ЕJ.

В пределах участка 1 j изменяется по линейному закону. В сечении В касательная к эпюре j параллельна оси.

Определим числовые значения v и j. Размерность длины в числителе переведём в сантиметры.

Задача 1.2.

Для балки с промежуточным шарниром (рис.1.8, а) определим значения поперечных сил, изгибающих моментов, прогибов и углов поворота в характерных сечениях и построим эпюры этих величин.

Разбиваем балку на несомую ВС и несущую АВ части (балки). Производим статический расчет несомой балки ВС (рис.1.8, б).

S М_В = 0, –14×3×1,5 – 12 + 5 R_С = 0, R_С = 15 кН;

S М_С = 0, 14×3×3,5 – 12 – 5 R_В = 0, R_В = 27 кН;

S Y = 0 (проверка), 14×3 – 27 – 15 = 42 – 42 = 0.

Эпюры Q и М приведены на рис.1.8, в, г.

х ₀ = 1,93 м;

Запишем выражение для прогиба балки с помощью метода начальных параметров.

Начальные параметры равны:

х = 0, v ₀ = 0, j₀ = 0,

М ₀ = – 24 кНм, Q ₀ = 12 кН.

В качестве проверки определим значение Dj _В с помощью метода Мора. Поскольку Dj _В представляет собой взаимное угловое перемещение (угол поворота правого сечения в шарнире В относительно левого сечения), приложим в сечении В парный единичный момент. Соответствующая единичная эпюра изгибающих моментов приведена на рис.1.9.

«Перемножаем» единичную и грузовую эпюры изгибающих моментов.

Рис.1.9

Результаты вычисления практически совпали. Запишем окончательные выражения для v (х) и j(х).

Вычислим значения v и j в характерных сечениях балки.

(граничное условие),

Рис.1.10

Рис.1.11

Результаты вычислений практически совпали. Эпюры и j приведены на рис.1.8, д, е. Отметим их особенности. В сечении В угол поворота имеет скачок, а касательные к эпюре j параллельны оси. На эпюре в этом сечении излом и смена знака кривизны. В сечении, где Q обращается в ноль, на эпюре j точка перегиба. В сечении на третьем участке, где М = 0, угол поворота имеет экстремальное значение j _min, а на эпюре имеется точка перегиба. В сечении на втором участке, где j = 0, прогиб имеет экстремальное значение _max.

Задача 1.3.

Для балки (рис.1.13, а) построим эпюры Q и М и определим прогиб и угол поворота в сечении С. Данная балка является статически неопределимой, поскольку для определения трех опорных реакций R_А, R_В и М_В можно использовать два уравнения равновесия S Y = 0 и S М = 0.

Составим выражение для прогиба балки с помощью метода начальных параметров.

х = 0, ₀ = 0, М ₀ = 0.

Для определения неизвестных начальных параметров j₀ и Q ₀ используем граничные условия:

х = 5 м, = 0, j = 0.

Составим выражение для углов поворота j(х) и раскроем граничные условия

Решаем систему алгебраических уравнений.

Определяем значения Q и М в характерных сечениях балки.

Q_А = Q_С = R_А = 8,26 кН, Q_В = 8,26 – 18×3 = – 45,74 кН,

М _А = М ₀ = 0, М _С = 8,26×2 = 16,52 кНм,

М_В = 8,26×5 – 18×3×1,5 = – 39,7 кНм.

Эпюры Q и М приведены на рис.1.13, б, в. Определяем экстремальное значение момента.

Определяем прогиб и угол поворота в сечении С.

Задача 1.4.

Для консольной рамы со стержнями различной жесткости (рис.1.14, а) определим с помощью метода Мора перемещения точки К.

Построим грузовую и единичные эпюры изгибающих моментов (рис. 1.14, б, в, г, д). Поскольку при определении перемещений в балках и рамах используется интеграл Мора, содержащий изгибающие моменты, построение эпюр Q и N не обязательно. Для определения вертикального и горизонтального перемещений точки К в этом сечении приложены единичные силы , а для определения угла поворота – приложен единичный момент .

«Перемножаем» грузовую и единичные эпюры в пределах длины каждого стержня и суммируем результаты.

Рис.1.14

Точка К перемещается вниз и вправо. Сечение К поворачивается против хода часовой стрелки.

Задача 1.5.

Для шарнирно опертой рамы (рис.1.15, а) определим с помощью метода Мора перемещения точки К.

Определяем опорные реакции от действия заданных нагрузок.

S C = 0, Н_А = 6 кН;

S М_А = 0, – 12×3×1,5 – 6×2 – 18 + 3 V_B = 0, V_B = 28 кН;

S М_В = 0, 12×3×1,5 – 6×2 – 18 – 3 V_А = 0, V_А = 8 кН;

S Y = 0 (проверка), – 12×3 + 8 + 28 = – 36 +36 = 0.

Строим грузовую эпюру изгибающих моментов (рис.1.15, б).

Точка К может иметь только горизонтальное перемещение. Приложим в точке К горизонтальную единичную силу и единичный момент и построим единичные эпюры изгибающих моментов (рис.1.15, в, г). «Перемножив» эти эпюры с грузовой эпюрой М_Р, получим.

Точка К перемещается вправо, сечение К поворачивается по ходу часовой стрелки.

Контрольные вопросы

1. С помощью каких дифференциальных уравнений определяются перемещения при изгибе балок?

2. Какие методы используются для определения перемещений при изгибе балок?

3. Сколько начальных параметров содержит выражение для прогибов при использовании метода начальных параметров? Сколько из них известно в начале расчёта и как определяются остальные?

4. Эпюры каких внутренних усилий используются при определении перемещений методом Мора?

5. Какой физический смысл интегралов Мора?

6. Как выбираются направления действия единичных силы или момента при использовании метода Мора? Как определяется знак перемещений?

7. Как можно вычислить интегралы Мора при определении перемещений в прямых стержнях с постоянной жёсткостью?

8. В каком случае при вычислении интегралов Мора нельзя использовать правило А.К.Верещагина?