Задачи для самостоятельного решения. Мендель Виктор Васильевич,

Математика – 10 класс

Мендель Виктор Васильевич,

декан факультета естественных наук,

Математики и информационных технологий ДВГГУ

ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ

Особое место в планиметрии отведено двум замечательным теоремам: теореме Чевы и теореме Менелая. Эти теоремы не включены в базовую программу курса геометрии средней школы, но их изучение (и применение) рекомендуется всем, кто интересуется математикой чуть больше, чем это возможно в рамках школьной программы. Чем же интересны эти теоремы? Сначала отметим, что при решении геометрических задач продуктивно сочетаются два подхода:

- один основан на определении базовой конструкции (например: треугольник – окружность; треугольник – секущая прямая; треугольник – три прямых, проходящих через его вершины и пересекающиеся в одной точке; четырехугольник с двумя параллельными сторонами и т.п.),

- а второй – метод опорных задач (простых геометрических задач, к которым сводится процесс решения сложной задачи).

Так вот, теоремы Менелая и Чевы относятся к наиболее часто встречающимся конструкциям: первая рассматривает треугольник, стороны или продолжения сторон которого пересечены некоторой прямой (секущей), во второй речь идет о треугольнике и трех прямых, проходящих через его вершины, пересекающиеся в одной точке.

Теорема Менелая

Эта теорема (вместе с обратной) показывает закономерность, наблюдающуюся для отношений отрезков, соединяющих вершины некоторого треугольника и точки пересечения секущей со сторонами (продолжениями сторон) треугольника.

На чертежах приведены два возможных случая расположения треугольника и секущей. В первом случае секущая пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей, во втором – продолжения всех трех сторон треугольника.

Теорема 1. (Менелая) Пусть пересечен п­­­­рямой, не параллельной стороне АВ и пересекающей две его стороны АС и ВС соответственно в точках В₁ и А₁, а прямую АВ в точке С₁ тогда

Теорема 2. (обратная теореме Менелая) Пусть в треугольнике АВС точки А₁, В₁, С₁ принадлежит прямым ВС, АС, АВ соответлственно, тогда, если

,

то точки А₁, В₁, С₁ лежат на одной прямой.

Доказательство первой теоремы можно провести так: на секущую прямую опускают перпендикуляры из всех вершин треугольника. В результате получают три пары подобных прямоугольных треугольников. Фигурирующие в формулировке теоремы отношения отрезков заменяют на отношения перпендикуляров, соответствующих им по подобию. Оказывается, что каждый отрезок – перпендикуляр в дробях будет присутствовать дважды: один раз в одной дроби в числителе, второй раз, в другой дроби, в знаменателе. Таким образом, произведение всех этих отношений окажется равным единице.

Обратная теорема доказывается методом «от противного». Предполагается, что при выполнении условий теоремы 2 точки А₁, В₁, С₁ не лежат на одной прямой. Тогда прямая А₁В₁ пересечет сторону АВ в точке С₂, отличной от точки С₁. При этом, в силу теоремы 1, для точек А₁, В₁, С₂ будет выполняться то же отношение, что и для точек А₁, В₁, С₁. Из этого следует, что точки С₁ и С₂ поделят отрезок AB в одинаковых отношениях. Тогда эти точки совпадут – получили противоречие.

Рассмотрим примеры применения теоремы Менелая.

Пример 1. Доказать, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины.

Решение. Запишем соотношение, полученное в теореме Менелая для треугольника ABM_b и прямой M_cM(C):

.

Первая дробь в этом произведении очевидно равна 1, а третья - . Поэтому второе отношение равно 2:1, что и требовалось доказать.

Пример 2. Секущая пересекает продолжение стороны AC треугольника ABC в точке B₁ так, что точка C является серединой отрезка AB₁. Сторону AB эта секущая делит пополам. Найдите, в каком отношении она делит сторону BC?

Решение. Запишем для треугольника и секущей произведение трех отношений из теоремы Менелая:

Из условий задачи следует, что первое отношение равно единице, а третье , таким образом, второе отношение равно 2, т.е., секущая делит сторону BC в отношении 2:1.

Следующий пример применения теоремы Менелая мы встретим, когда будем рассматривать доказательство теоремы Чевы.

Теорема Чевы

Большинство замечательных точек треугольника могут быть по­лучены при помощи следующей процедуры. Пусть имеется некоторое правило, согласно которому мы сможем выбрать определенную точку A₁, на стороне BC (или её про­должении) треугольника ABC (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки B₁, C₁ на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середи­ны сторон). Если правило выбора удачное, то прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекутся в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный, так как медианы треугольника пересекаются в одной точке).

Хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позво­ляющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет.

Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашёл в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева.

Определение. Отрезки, соеди­няющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах (или их продолжениях), называют чевианами, если они пересекаются в одной точке.

Возможны два варианта расположения чевиан. В одном варианте точка

пересечения – внутренняя, а концы чевиан лежат на сторонах треугольника. Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного чевиана лежит на стороне, а у двух других чевиан концы лежат на продолжениях сторон (смотри чертежи).

Теорема 3. (Прямая теорема Чевы) В произвольном треугольнике АВС на сторонах ВС, СА, АВ или их продолжениях взяты соответственно точки А₁, В₁, С₁, такие, что прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в некоторой общей точке, тогда

.

Доказательство: известно несколько оригинальных доказательств теоремы Чевы, мы рассмотрим доказательство, основанное на двукратном применении теоремы Менелая. Запишем соотношение теоремы Менелая первый раз для треугольника ABB₁ и секущей CC₁ (точку пересечения чевиан обозначим Z):

,

а второй раз для треугольника B₁BC и секущей AA₁:

.

Перемножив два этих отношения, проведя необходимые сокращения получим соотношение, содержащееся в утверждении теоремы.

Теорема 4. (Обратная теорема Чевы). Если для выбранных на сторонах треугольника ABC или их продолжениях точек A₁, В₁ и C₁ выполняется условие Чевы:

,

то прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Доказательство этой теоремы проводится методом от противного, также, как доказательство теоремы Менелая.

Рассмотрим примеры применения прямой и обратной теорем Чевы.

Пример 3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение. Рассмотрим соотношение

для вершин треугольника и середин его сторон. Очевидно, что в каждой дроби в числителе и знаменателе стоят равные отрезки, поэтому все эти дроби равны единице. Следовательно, выполнено соотношение Чевы, поэтому, по обратной теореме, медианы пересекаются в одной точке.

Задачи для самостоятельного решения

Предлагаемые здесь задачи являются контрольной работой №1 для учащихся 9 классов. Решите эти задачи, запишите решения в отдельную (от физики и информатики) тетрадь. Укажите на обложке следующую информацию о себе:

1. Фамилия, имя, класс, профиль класса (например: Пупкин Василий,9 кл., математический)

2. Индекс, адрес места жительства, электронная почта (если есть), телефон (домашний или мобильный)

3. Данные о школе (например: МБОУ №1 п. Бикин)

4. Фамилия, И. О. учителя математики (например: учитель математики Петрова М.И.)

Рекомендуется решить не менее четырех задач.

М 9.1.1. Может ли секущая прямая из теоремы Менелая разрезать стороны треугольника (или их продолжения) на отрезки длиной:

а) 3, 3, 5, 7,10, 14;

в) 3, 5, 6, 7, 7, 10,

Если такие варианты возможны, приведите примеры. Отрезки могут идти в разном порядке.

М 9.1.2. Могут ли внутренние чевианы треугольника делить его стороны на отрезки:

а) 3, 3, 5, 7,10, 14;

в) 3, 5, 6, 7, 7, 10,

Если такие варианты возможны, приведите примеры. Отрезки могут идти в разном порядке.

Указание: придумывая примеры не забудьте проверить неваенство треугольника.

М 9.1.3. Используя обратную теорему Чевы докажите, что:

а) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;

б) отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противоположных сторонах, в которых эти стороны касаются вписанной окружности, пересекаются в одной точке.

Указания: а) вспомните, в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону; б) используйте свойство, что отрезки двух касательных, проведенные из одной точки к некоторой окружности, равны.

М 9.1.4. Завершите доказательство теоремы Менелая, начатое в первой части статьи.

М 9.1.5. Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, используя обратную теорему Чевы.

М 9.1.6. Докажите теорему Симпсона: из произвольной точки M, взятой на описанной вокруг треугольника ABC окружности, на стороны или продолжения сторон треугольника опущены перпендикуляры, докажите, что основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой.

Указание: используйте обратную теорему Менелая. Попробуйте выразить длины отрезков, используемых в отношениях, через длины перпендикуляров, проведенных их точки M. Также полезно вспомнить свойства углов вписанного четырехугольника.