Параллельный сумматор с параллельным переносом

Сумматоры для параллельных операндов с параллельным переносом разра­ботаны для получения максимального быстродействия.

Подход к решению этой задачи требует пояснений. Дело в том, что рассмат­риваемые сумматоры – комбинационные схемы, и вырабатываемые ими функции могут быть представлены в нормальных формах, например, в ДНФ, что приводит к двухъярусной реализации при наличии парафазных аргументов и к трёхъярусной при однофазных аргументах. Таким образом, предельное быстродействие оценивается 2-3 элементарными задержками. Однако реальные схемы таких пределов не достигают, т. к. построение сум­маторов многоразрядных слов на основе нормальных форм дало бы неприемлемо громоздкие схемы. Реальные схемы имеют модульную структуру, т. е. состоят из подсхем (разрядных схем), что резко упрощает их, но не даёт предельно возможного быстродействия.

Сумматоры с параллельным переносом не имеют последовательного распро­странения переноса вдоль разрядной сетки. Во всех разрядах результаты вы­рабатываются одновременно, параллельно во времени. Сигналы переноса для данного разряда формируются специальными схемами, на входы которых поступают все переменные, необходимые для выработки переноса, т. е. те, от которых зависит его наличие или отсутствие. Ясно, что это внешний входной перенос c _вх (если он есть) и значения всех разрядов слагаемых, младших относительно данного. Одноразрядные сумматоры, имеющиеся в разрядных схемах, здесь упрощены, т. к. от них выход переноса не требуется, достаточно одного выхода суммы (рис. 5). Обозначение CR происходит от слова carry (перенос).

Рис. 5. Структура сумматора с параллельным переносом

Для перехода от идеи построения схемы к её конкретному виду удобно вве­сти две вспомогательные функции: генерации и прозрачности.

Функция генерации принимает единичное значение, если перенос на выходе данного разряда появляется независимо от наличия или отсутствия входного переноса. Очевидно, что эта функция g_i = a_ib_i .

Функция прозрачности (транзита) принимает единичное значение, если пе­ренос на выходе данного разряда появляется только при наличии входного переноса. Эта функция 0_i = a_i + b_i . Строго говоря, , но т. к. при a_i = b_i = 1, т. е. в ситуации, где между функциями ИЛИ и “исклю­чающее ИЛИ” проявляется разница, перенос всё равно формируется из-за g_i = 1, допустимо заменить функцию прозрачности на дизъюнкцию.

Теперь выражение для сигнала переноса можно записать в виде c_i = g_i + c_{i –1} 0_i. На основе полученного выражения выведем функции переноса C для нуле­вого, первого и второго разрядов с последующим их обобщением.

Перенос на выходе младшего разряда c ₀ = g ₀ + c _вх 0 ₀ , согласно чему он либо генерируется самим разрядом (g ₀ = 1), либо пропускается через него (0 ₀ = 1 и c _вх = 1).

Аналогичным образом для переноса c ₁ на выходе следующего разряда спра­ведливо соотношение c ₁ = g ₁ + c ₀ 0 ₁.

Подставив в это соотношение выражение для c ₀ , получим

c ₁ = g ₁ + g ₀ 0 ₁ + c _вх 0 ₁ 0 ₀ .

Для следующего разряда произведем те же действия

c ₂ = g ₂ + c ₁ 0 ₂ = g ₂ + g ₁ 0 ₂ + g ₀ 0 ₂ 0 ₁ + c _вх 0 ₂ 0 ₁ 0 ₀.

Выведённые формулы имеют ясный физический смысл – перенос на выхо­де разряда сгенерируется в нём или придёт от предыдущих разрядов при прозрачности тех, через которые он распространяется.

Для произвольного разряда с номером i можно записать

c_i = g_i + g_{i –1} 0_i + g_{i –2} 0_i0_{i –1} +… + c _вх 0_i0_{i –1}… 0 ₀.

Функции переноса имеют нормальную дизъюнктивную форму и могут быть реализованы элементами И-ИЛИ (либо И-ИЛИ-НЕ, для , если это свой­ственно данной схемотехнике). Однако у этих элементов недостаточное чис­ло входов по И, требуемое для построения многоразрядного сумматора. По­этому предпочтительна схема на элементах И-НЕ (у стандартных элементов имеется до восьми входов по И). Перевод полученных выражений в базис И-НЕ даёт выражения

;

;

.

Схема сумматора (рис. 6) соответствует полученным выражениям.

Исходя из схемы, можно видеть, что время суммирования складывается из времени формирования функций прозрачности (одна задержка элемента И-НЕ, которую обозначим t _ЛА), времени формирования функций переноса (2 t _ЛА) и задержки упрощённых одноразрядных сумматоров (t _ЛР), что в ре­зультате даёт t_sum = (4...5) t _ЛА.

Длительность суммирования, полученная из рассмотрения логической схе­мы сумматора, не зависит от его разрядности, что является характерным признаком структур с параллельными переносами вообще, и не только сум­маторов. Однако фактически это не совсем так, поскольку с ростом разряд­ности сумматора увеличивается нагрузка элементов схемы, что увеличивает их задержки. В частности, коэффициент разветвления элементов, вырабатывающих функции прозрачности, равен n ²/4, т. е. квадратично зави­сит от разрядности сумматора. Поэтому рост разрядности замедляет процесс суммирования.

Рис. 6. Вариант схемы сумматора с параллельным переносом

Диапазон разрядностей, в которых проявляются достоинства сумматоров с параллельным переносом, невелик. До n = 3...4 преимущества имеют более простые схемы сумматоров с последовательным переносом, после n = 8 по­являются перегруженные элементы и элементы с большим числом входов, что замедляет работу сумматора, требует введения развязывающих элементов с их задержками и т. п.