Язык логики высказываний

Логика высказываний (пропозициональная логика) – это раздел логики, изучающий способы построения и логическую структуру высказываний, отношения между ними и выводы, полученные с помощью логических операций конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции, отрицания и т.д. Часто в логике это обозначается КЛВ – классическая логика высказываний. Алфавит логики высказываний включает в себя четыре вида символов:

1) пропозициональные переменные – p, q, r, s,...

2) пропозициональные связки – Ø, &, Ú, Ú, É, º

3) скобки – (…)

4) запятая -,

Пропозициональные переменные замещают собой простые высказывания. Например, высказывание «идет снег» можно обозначить символом p, высказывание «метет метель» – символом q, и т.д. Пропозициональные связки предназначены для того, чтобы объединять простые высказывания в более сложные. К ним относятся:

Ø – отрицание («не»; «неверно, что», «неправда, что» и т.п.)

& – конъюнкция («и», «а», «но», «хотя», и т.п.)

Ú – дизъюнкция («или», «по крайней мере одно из двух» и т.п.)

Ú – строгая дизъюнкция («либо-либо», «только одно из двух» и т.п.)

É – импликация («если, то», «значит», «вытекает» и т.п.)

º – эквиваленция («если и только если», «равнозначно» и т.п.)

Формулами в языке КЛВ называютзначимые выражения. Пропозициональные переменные сами по себе уже являются (атомарными) формулами. Более сложные формулы получаются из атомарных с использованием связок.

Определение формулы. (1) Пропозициональные переменные являются формулами. (2) Если А и В – формулы, то ØА, А&В, АÚВ, А Ú В, АÉВ, АºВ – тоже формулы. (3) Ничто другое не является формулой.

Упражнение 1. Расставьте пропущенные скобки в следующих формулах:

а) p Ú Ø q & r É s & q Ú Ø p º Øs É q Ú r

б) p & q º r & s Ú q Ú Ø p É Øs Ú q & r

Переводить высказывания с обычного языка на естественный не трудно. Пусть, например, р означает «Иван-царевич любит Марью», q – «Марья любит Ивана-царевича», r – «Марья красивая», s – «Иван-царевич храбрый». Тогда переводом следующих высказываний будут формулы:

– «Иван-царевич храбрый и любит Марью» s & p

– «Неверно, что Марья некрасивая

или Иван-царевич ее не любит» Ø(Ør Ú Øp)

– «Если Марья красива, а Иван-царевич храбр,

то они любят друг друга» (r&s) É (p&q)

Семантика языка КЛВ основана на двух принципах:

1) Принцип бивалентности. Каждая пропозициональная переменная, замещающая собой простое предложение, может быть либо истинной, либо ложной. Истинность будем обозначать как 1, ложность – как 0.

2) Принцип композициональности. Истинностное значение сложной формулы есть функция от истинностных значений входящих в нее переменных.

Таким образом, каждая пропозициональная связка трактуется как истинностно-истинностная функция. Для наглядности воспользуемся таблицей истинности:

Рассмотрим на примере, как строится таблица истинности для произвольной формулы. Пусть нам дано высказывание: «Если Иван-царевич и Марья любят друга, то неверно, что по крайней мере один из них не любит другого». Его переводом на язык КЛВ будет формула: (p&q) É Ø(ØpÚØq).

Алгоритм построения таблицы истинности:

1) Определить число строк (оно вычисляется по формуле k = 2ⁿ, где k – количество строк, а n – число различных пропозициональных переменных, входящих в формулу).

2) Задать все комбинации совместной истинности/ложности пропозициональных переменных[1].

3) Вычислить (построчно) значение каждой подформулы и формулы в целом (используя данное выше табличное определение пропозициональных связок).

В данной таблице всего четыре строки, поскольку формула содержит лишь две переменные – p и q. Первые два столбца задают все возможные комбинации совместной истинности и ложности этих переменных. Следующие пять столбцов показывают, каким будет значение каждой подформулы в той или иной строчке. Последний (результирующий) столбец показывает значение всей формулы в целом.

В зависимости от того, каким является результирующий столбец таблицы, выделяют три вида формул: тождественно-истинные, тождественно-ложные и логически случайные.

Тождественно-истинной (общезначимой) называется формула, принимающая значение «1» во всех строках таблицы.

Тождественно-ложной (невыполнимой) называется формула, принимающая значение «0» во всех строках таблицы.

Логически случайной (собственно выполнимой) называется формула, принимающая в некоторых строках таблицы значение «1», а в некоторых – «0».

В приведенном примере формула является тождественно-истинной. Она истинна всегда, независимо от того, истинны или ложны входящие в нее пропозициональные переменные. Другими словами, данная формула выражает собой логический закон.

Упражнение 2. установите табличным способом, к каким видам относятся следующие формулы:

а) Ø(p & q) º (Øp & Øq)

б) (p É q) É (Øq É Øp)

в) (p º q) & (p Ú q)

Суждение и его виды

Наряду с понятием к числу основных форм мышления относится суждение. Эта форма мышления является, по существу, обязательным элементом всякого познания, в особенности, связанного с процессами рассуждения, с осуществлением выводов и построением доказательств. В этой форме фиксируются результаты познания отдельных предметов, классов предметов, некоторых ситуаций вообще. В мысли этого типа содержится, с одной стороны, описание или хотя бы просто обозначение этих предметов, классов, ситуаций, а с другой - утверждение или отрицание наличия у них той или иной характеристики.

Пример. В суждении «Каждая планета Солнечной системы вращается вокруг своей оси» утверждается наличие в действительности ситуации: вращение вокруг своей оси каждой планеты Солнечной системы. А в суждении «Ни одна планета Солнечной системы не является неподвижной» отрицается наличие в действительности ситуации покоя каждой планеты Солнечной системы.

Суждение – это форма мысли, содержащая описание некоторой ситуации и утверждение или отрицание наличия этой ситуации в действительности.

Важнейший отличительный признак суждения – утверждение или отрицание чего-либо о чем-либо. В понятии ничего не утверждается и не отрицается. В нем лишь выделяется сам предмет мысли (например: «день», «ночь», «солнечный день», «несолнечный день»). В суждении же акцентируется внимание на самом соотношении между какими-либо предметами мысли: «День солнечный» или «День не солнечный», «День прошел», «Ночь настала».

И в самых простых, и в достаточно сложных суждениях всегда утверждается или отрицается наличие тех или иных признаков у некоторых объектов. Поэтому в общем виде определение суждения можно сформулировать и следующим образом:

Суждение – это мысль, в которой утверждается или отрицается наличие связи между объектами и признаками.

Знаком, в виде которого выражается суждение, является повествовательное предложение. Смыслом этого знака должна быть связанная с ним мысль. Это и есть само суждение. Что касается значения предложения, то иногда в качестве него рассматривают ситуацию, которая имеет или не имеет места в действительности и которая описывается суждением. Однако чаще всего значением предложения принято считать истину или ложь.

В современной логике вместо термина «суждение» предпочитают употреблять термин «высказывание». В традиционной логике термином «суждение» обозначали именно некоторый смысл повествовательного предложения с учетом того, что он может быть общим для различных знаковых форм. Иначе говоря, одно и то же суждение может быть выражено в различных формах повествовательных предложений.

Пример. Можно утверждать, что «Всякий человек способен мыслить» и что «Все люди обладают способностью мышления», но в обоих случаях выражается одна и та же мысль (одно и то же суждение).

С термином «высказывание» обычно связывают некоторый смысл (суждение) вместе с его знаковой формой. Говоря о суждении, не обязательно иметь в виду какую-либо определенную знаковую форму. Говоря же о высказывании, подразумеваем определенную знаковую форму вместе с ее смыслом. Когда же имеем в виду лишь саму знаковую форму высказывания, - отвлекаясь от ее смысла, т.е. от выражаемого в ней суждения, - то употребляем термин «повествовательное предложение».

Виды суждений. При выделении видов суждений, прежде всего, различают простые и сложные. Простым называется такое суждение, ни одна логическая часть которого не является суждением.

Пример. «Математика – абстрактная наука».

Сложным является такое суждение, которое содержит в качестве своей правильной части, т.е. части, не совпадающей с целым, некоторое другое суждение.

Пример. «Если вы будете хорошо учиться, то обязательно получите диплом».

Виды простых суждений. Основными частями простых суждений являются один или несколько субъектов суждения (логических подлежащих) и предикат суждения (логическое сказуемое). Субъект и предикат суждения называются терминами этого суждения.

Субъект суждения – это термин, возможно, выражающий понятие и представляющий предмет, о котором нечто утверждается или отрицается. Субъект суждения принято обозначать буквой S.

Предикат суждения – часть суждения, выражающая то, что утверждается или отрицается о предметах, которые представляют субъекты. Предикат обозначается буквой Р.

Пример. В суждении «Солнце есть раскаленное небесное тело» субъект – «Солнце», предикат – «раскаленное небесное тело». В суждении «Земля вращается вокруг Солнца» два субъекта – «Земля» и «Солнце», предикат – отношение «вращается».

В зависимости от содержания предиката суждения, т.е. от того, что именно утверждается или отрицается о тех или иных предметах, различают атрибутивные, экзистенциальные и реляционные суждения.

Атрибутивными называются суждения, в которых утверждается или отрицается наличие некоторого свойства у предмета. Логическая форма атрибутивного суждения имеет вид: S (не) есть Р.

Пример. «Солнце (S) есть раскаленное небесное тело (Р)»; «Великобритания (S) является конституционной монархией (Р)»; «Некоторые лебеди (S) белые (Р)»; «Великий комбинатор (Р) этот Остап Бендер (S)»; «Нужда (S) заставит Богу молиться (Р)».

Экзистенциальными называются суждения, в которых утверждается или отрицается существование предмета.

Пример. «Змея-Горыныча (S) не существует в действительности (Р)»; «Природные аномалии (S) существуют (Р)»; «Нет безысходных ситуаций» («Безысходных ситуаций (S) не существует (Р)»).

Реляционные – это суждения, в которых утверждается или отрицается отношение между некоторыми предметами.

Пример. «Земля вращается вокруг Солнца»; «Петр – брат Ивана»; «Москва расположена между Петербургом и Екатеринбургом».

В атрибутивных суждениях, как и в суждениях существования, имеется всегда лишь один субъект. В суждениях об отношении – более чем один.

Виды атрибутивных суждений. По качеству атрибутивные суждения делятся на утвердительные и отрицательные.

Утвердительными являются суждения, говорящие о принадлежности предиката субъекту суждения. Отрицательные – это суждения, говорящие об отсутствии данного предиката у субъекта.

При определении вида суждения по качеству надо обращать внимание на качество связки «есть» («не есть»). Суждение «Это нехороший человек» –утвердительное, так как в нем говорится о принадлежности субъекту («человек») предиката «нехороший». Суждение «Он никогда не был хорошим другом» – отрицательное, так как в нем говорится об отсутствии у субъекта («он») предиката «хороший друг». В этом суждении логическая связка «есть» («был») стоит с отрицанием «не».

По количеству атрибутивные суждения делятся на единичные, частные и общие. Количество суждения – это его характеристика, определяющая, в каком объеме рассматривается субъект суждения.

В единичных суждениях предикат высказывается о единичном предмете, т.е. все термины, играющие роль субъектов, - единичные имена.

Пример. «Этот человек имеет преступные наклонности».

В частных суждениях предикат высказывается о некоторых элементах объема субъекта.

Пример. «Некоторые люди имеют преступные наклонности».

В общих суждениях предикат высказывается обо всем объеме субъекта.

Пример. «Все люди имеют преступные наклонности».

Значение слова «некоторые» в естественном языке и в логике несколько различно. В естественном языке оно используется в значениях «только некоторые, но не все» и «некоторые, а может быть, и все». В логике – только в значении «некоторые, а может быть, и все».