Примеры решения задач. Найти область определения функции

Решение задания 1

Найти область определения функции .

Решение:

Первое неравенство системы представляет собой внешнюю область окружности с центром в точке (0;0) и радиусом 2, включая границу. Второе неравенство системы представляет собой круг без границы, с центром в точке (0;0) и радиусом 9.

3.2 Решение задания 2

Определить вид линии уровня функции .

Решение:

Линии уровня определяются уравнением

. Это гипербола, расположенная в первой и третьей координатных четвертях.

3.3 Решение задания 3

3.3.1 Для функции найти частные производные и их значения в точке x = , y = 25.

3.3.2 Найти полный дифференциал функции в точке x = , y = 25.

3.3.3 Найти градиент функции в точке x = , y = 25.

3.3.4 Найти производную функции в точке x = , y =25 по направлению вектора (1; 2).

3.3.5 Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке x = , y = 25.

Решение:

3.3.1

3.3.2

3.3.3

3.3.4

3.3.5 Уравнение касательной плоскости к поверхности имеет вид:

Вычислим предварительно , подставив координаты в формулу функции.

.

То есть, имеем

Уравнение нормали к поверхности имеет вид:

3.4 Решение задания 4

Для функции найти вторые частные производные .

Решение:

;

;

;

;

;

.

3.5 Решение задания 5

Пусть , тогда , , . Тогда заданная в условии функция примет вид: . Исследуем её на локальный экстремум.

Решение:

Найдём частные производные , , , , . Найдём критические точки, решая систему

Исследуем функцию на экстремум в точке , применяя достаточный признак. Найдём значения вторых производных в этой точке.

;

;

.

Дискриминант . Так как , , то в точке имеется локальный минимум .

4. Контрольные вопросы

1. Что называется функцией нескольких переменных?

2. Что называется областью определения функции двух переменных?

3. Что называется областью изменений или множеством значений функции двух переменных?

4. Что такое частная производная?

5. Что называется линией уровня функции ?

6. Что называется поверхностью уровня функции ?

7. Что понимается под d -окрестностью точки ?

8. Что называется двойным пределом функции в точке ?

9. Какая функция называется непрерывной в точке ?

10. Какая функция называется непрерывной на множестве точек Е?

11. Сформулируйте теорему Вейерштрасса.

12. Как формулируется теорема о смешанных производных?

13. Сколько различных частных производных 4-го порядка имеет функция от трёх переменных?

14. Что такое полный дифференциал? Его геометрический смысл.

15. Сформулируйте достаточный признак дифференцируемости функции в точке.

16. Что называется линеаризацией функции в окрестности точки ?

17. Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

18. В чём заключается геометрический и функциональный смысл градиента?

19. Что называется производной по направлению вектора для функции двух переменных? для функции трех переменных?

20. Запишите формулу Тейлора для функции двух переменных.

21. Сформулируйте необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных.

22. Что называется условным экстремумом функции двух переменных ?

Список рекомендуемой литературы

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.Т.1, М.: Интеграл-Пресс, 2007.416с.

2. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. М.: Проспект, 2011.-608с.

3. Сборник задач по математике для втузов: В 4 частях: Ч.2 / Под общей ред. А.В. Ефимова и А.С. Поспелова. - М.: Изд-во физ.-мат. литературы, 2009.432с.

Date: 2016-05-15; view: 861; Нарушение авторских прав