Тема 3 ряды динамики

Все явления природы и общества находятся в постоянном движении и развитии. Те из них, которые поддаются количественному измерению, изучаются путем построения и анализа рядов динамики.

Ряд динамики – это временная последовательность статистических показателей.

Каждый временной ряд состоит из двух элементов: 1) моменты или периоды времени; 2) статистические показатели, которые характеризуют изучаемый объект на определенный момент или за указанный период времени.

Статистические показатели, характеризующие изучаемый объект, называют уровнями ряда.

Рисунок 3 – Классификация динамических рядов

В зависимости от характера изучаемого явления ряд динамики может отражать его уровень за определенный период времени или на какую-либо дату. В связи с этим различают два вида рядов динамики: моментный и интервальный.

По полноте времени, отраженному в динамических рядах они бывают полные и неполные. В неполных рядах интервалы между моментами времени неодинаковые.

По способу выражения уровней динамические ряды могут быть представлены абсолютными, относительными и средними величинами.

Для изучения интенсивности изменения уровней ряда от срока к сроку исчисляются показатели динамики, которые могут быть рассчитаны с постоянной и переменной базой (цепная и базисная система расчета).

Если каждый последующий уровень сравнивается с предыдущим – это цепная система расчета; а если с базой сравнения – базисная система расчета.

Для записи показателей применяются обозначения:

y₁ – начальный уровень динамического ряда

y_n – последний уровень ряда

y_i – уровни между y₁ и y_n

n – число уровней ряда

Таблица 1 – Показатели динамики

Показатели динамики	Условное обозначение	Система расчета
базисная	цепная
Абсолютный прирост	∆y	yi – y1	yi – yi–1
Темп роста	Tр
Темп прироста	Тпр	Тр – 1	Тр – 1
Абсолютное значение 1 % прироста	А	–	0,01 yi –1

Для обобщающей характеристики динамики исследуемого явления определяют средние показатели динамики, которые также могут быть рассчитаны цепным и базисным методом.

Таблица 2 – Средние показатели динамики

Средние показатели динамики	Условное обозначение	Система расчета
базисная	цепная
Средний абсолютный прирост
Средний темп роста
Средний темп прироста

Составной частью анализа динамического ряда является выявление тенденции в развитии изучаемого явления.

Основной тенденцией ряда динамики называется устойчивое изменение уровня явления во времени, относительно свободное от случайных колебаний.

Для выявления тенденции применяются следующие основные методы:

- метод укрупнения периодов;

- метод скользящей средней;

- метод аналитического выравнивания.

Метод укрупнения периодов заключается в замене существующих уровней динамического ряда укрупненными уровнями с последующей характеристикой этих периодов средней величиной.

Метод скользящей средней заключается в замене существующих уровней динамического ряда укрупненными периодами при включении в эти периоды одного или нескольких уровней при одновременном исключении из этих периодов одного или нескольких уровней. Вновь полученные периоды также характеризуются средними величинами.

Метод аналитического выравнивания заключается в выражении тенденции развития через определенную математическую функцию (уравнение). Для выравнивания динамического ряда могут быть использованы различные виды функций:

Таблица 3 – Виды функций и их алгебраическое выражение

	Наименование функций	Алгебраические формулы
1.	Линейная
2.	Квадратическая
3.	Гиперболическая
4.	Степенная
5.	Показательная

где

y_t –расчетные (выровненные) значения уровней;

t – порядковый номер года;

a₀ – свободный член уравнения;

а₁ и а₂ – коэффициенты регрессии.

Тема 4 ИНДЕКСЫ

Индексы представляют собой сложные относительные показатели, характеризующие среднее изменение массовых явлений, состоящих из непосредственно несоизмеримых показателей.

По степени охвата явления индексы подразделяют на индивидуальные (охватывают единичные явления) и общие (охватывают все явление целиком, например, сельскохозяйственное предприятие, сельское хозяйство).

По содержанию индексируемых величин различают индексы объемных и качественных показателей.

При необходимости сопоставления более чем двух периодов используют цепные и базисные индексы. Базисными индексами называются те, в которых величины, характеризующие изучаемое явление в последовательные отчетные периоды, сопоставляются все время с величиной, характеризующей явление в одном определенном базисном периоде. Цепными называются индексы, в которых индексируемая величина каждого из отчетных периодов сопоставляется с величиной, характеризующей явление в предыдущем периоде. Между цепными и базисными индексами существует взаимосвязь: произведение цепных индексов равняется последнему базисному.

Рисунок 4 – Основные виды индексов

В зависимости от методологии расчета различают:

- агрегатные индексы;

- средние из индивидуальных индексов:

Если информационная база не дает возможности проведения индексного анализа в агрегатной форме, индексы могут быть построены в форме средних из индивидуальных индексов (средний арифметический индекс, средний гармонический индекс).

Агрегатные индексы качественных показателей могут быть рассчитаны как индексы переменного состава и индексы фиксированного (постоянного) состава. В индексах переменного состава сопоставляются показатели, рассчитанные на базе изменяющихся структур явлений, а в индексах фиксированного состава – на базе неизменной структуры явления.

Таблица 4 – Основные виды индексов

Название индекса	Индивидуальный индекс	Общий индекс	Средние индексы
Индекс цен
Индекс физического объема
Индекс выручки
Индекс себестоимости
Индекс затрат
Индекс валового сбора сельскохозяйственных культур
Индекс урожайности постоянного состава
Индекс структурных сдвигов

Тема 5 Выборочное наблюдение

Под выборочным наблюдением понимается такое несплошное наблюдение, при котором статистическому обследованию подвергаются единицы изучаемой совокупности, отобранные случайным способом.

Совокупность отобранных для обследования единиц называют выборочной, а совокупность единиц, из которых производится отбор – генеральной.

По виду различают индивидуальный, групповой и комбинированный отбор. При индивидуальном отборе в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной совокупности, при групповом – группы единиц, а при комбинированном отборе производится сочетание группового и индивидуального отбора.

Метод отбора определяет возможность продолжения участия отобранной единицы в процедуре отбора.

Бесповторным называется отбор, при котором попавшая в выборку единица не возвращается в генеральную совокупность. При повторном отборе – попавшая в выборку единица после регистрации наблюдаемых признаков возвращается в исходную совокупность и может снова участвовать в процедуре отбора.

Способ отбора определяет конкретный механизм выборки единиц из генеральной совокупности. Существуют следующие способы отбора:

Собственно-случайная выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности наугад без каких-либо элементов системности.

Механическая выборка применяется в случаях, когда генеральная совокупность каким-либо образом упорядочена, то есть имеется определенная последовательность в расположении единиц.

Типический отбор используется, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько типических групп.

Серийный отбор удобен в тех случаях, когда единицы совокупности объединены в небольшие группы или серии, равные по объему. Внутри групп обследуются все без исключения единицы.

В каждом конкретном случае рассчитываются средняя и предельная ошибки выборки, которые позволяют распространить результаты выборочного обследования на генеральную совокупность.

В зависимости от способа отбора используются различные формулы для расчета ошибок (см. таблицу).

Комбинированный отбор предполагает сочетание всех перечисленных способов отбора. Ошибка выборки в этом случае рассчитывается отдельно на каждом этапе.

Для определения необходимой численности выборки задается уровень точности выборочной совокупности с определенной вероятностью. Формула для расчета необходимой численности выборки выводится из формулы предельной ошибки. Поэтому расчет необходимой численности выборки будет осуществляться исходя из способа отбора.

Таблица – Предельная ошибка выборки для различных способов отбора

Метод отбора Вид выборки	Повторный	Бесповторный
для средней	для доли	для средней	для доли
Собственно случайная и механическая
Типическая
Серийная

Однако каждая из формул численности показывает, что с увеличением предполагаемой ошибки выборки значительно уменьшается ее необходимый объем. Кроме того, для определения численности выборки необходимо также задать уровень колеблемости, выражаемый дисперсией или средним квадратическим отклонением. Формулы для расчета необходимой численности выборки представлены в таблице. Эти методы расчета численности используются в тех случаях, когда речь идет о количественных признаках.

Способ выражения качественных признаков не позволяет рассчитать по ним средние значения, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, поэтому оценка колеблемости производится исходя из долей единиц, обладающих значениями этих признаков, то есть выборочных долей.

Если расчет проводится по качественному альтернативному признаку и не известна его доля в генеральной совокупности, то рекомендуется принять ее равной 0,5. Именно при этом значении дисперсия доли достигает своего максимума 0,25.

Таблица – Необходимый объем выборки для некоторых способов формирования выборочной совокупности

Виды выборочного наблюдения	Повторный отбор	Бесповторный отбор
Собственно-случайная выборка
При определении среднего размера признака
При определении доли признака
Механическая выборка	То же	То же
Типическая выборка
При определении среднего размера признака
При определении доли признака
Серийная выборка
При определении среднего размера признака
При определении доли признака

Заключительный этап – распространение результатов выборочного обследования на генеральную совокупность. Вывод о возможности распространения зависит от полноты выборки. Под полнотой понимается наличие или представленность всех типов и групп данной генеральной совокупности в основе выборки.

Более точной основой суждения о распространении результатов является расчет относительной ошибки:

- для средней:

- для доли:

Если величина относительной ошибки не превышает заранее установленного для данного обследования предельного значения, то данные выборочного наблюдения являются представительными и могут быть распространены на генеральную совокупность.

Под малой выборкой понимается такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 30.

При оценке результатов малой выборки величина генеральной дисперсии в расчетах не используется. Для определения возможных пределов ошибки пользуются так называемым критерием Стьюдента:

,

где – мера случайных колебаний выборочной средней в малой выборке.

Величина s и предельная ошибка малой выборки вычисляются на основе данных выборочного наблюдения:

и

Но в данном случае вероятная оценка зависит не только от величины t, но и от объема выборки. Величина коэффициента доверия t при различных объемах малой выборки представлена в таблице.

Таблица – Распределение вероятности в малых выборках в зависимости от коэффициента доверия t и объема выборки n

Независимо от вида выборки на заключительном этапе определяются доверительные интервалы, в которых может находиться генеральная средняя (для количественных признаков) или генеральная доля (для качественных признаков).

Доверительные интервалы – это область тех значений генеральной средней, выход за пределы которой имеет весьма малую вероятность. Доверительные интервалы определяются по формулам:

- для средней

- для доли

- для малой выборки

Тема 6 КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Каждое явление есть следствие многих факторов и причин, и в свою очередь, каждое явление влияет на многие другие явления.

В процессе статистического исследования зависимостей вскрываются причинно-следственные отношения между явлениями, что позволяет выявлять факторы (признаки), оказывающие основное влияние на вариацию изучаемых явлений и процессов. Причинно-следственные отношения – это связь явлений и процессов, когда изменение одного из них – причины ведет к изменению другого - следствия.

В статистике различают функциональную связь и стохастическую зависимость. Функциональной называют связь, при которой определенному значению факторного признака соответствует одно и только одно значение результативного признака.

Связь, при которой каждому определенному значению влияющего фактора соответствует не одно, а ряд различных, не имеющих строго определенной величины значений рассматриваемого признака. Эти значения колеблются вокруг средней из них. Стохастическая зависимость проявляется только в средних величинах и выражает числовое соотношение между ними в виде тенденции к возрастанию или убыванию одной переменной величины при возрастании или убыванию другой.

Стохастические связи можно классифицировать:

1) по направлению – связи прямые (положительные) и обратные (отрицательные). При прямой связи с увеличением или уменьшением значений факторного признака происходит увеличение или уменьшение значений результативного. В случае обратной связи значения результативного признака изменяются под воздействием факторного в противоположном направлении по сравнению с изменением факторного признака;

2) по аналитической форме – линейные и нелинейные. Если статистическая связь между явлениями может быть выражена уравнением прямой линии, то ее называют линейной связью; если же она выражается уравнением какой-либо кривой линии – то нелинейной или криволинейной;

3) по количеству взаимодействующих факторов – парные и множественные. Практическое значение парной линейной корреляции состоит в выделении одного важнейшего фактора, который определяет вариацию результативного признака;

4) по силе – слабые и сильные, теснота которых определяется специальными критериями.

Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь, при которой изменение среднего значения результативного признака обусловлено изменением факторных признаков.

Корреляционный анализ имеет своей задачей количественное определение тесноты связи между двумя признаками.

Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции.

Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции:

Линейный коэффициент корреляции измеряется в пределах от
–1 до +1.

По степени тесноты связи различают количественные критерии оценки тесноты связи:

Чем ближе линейный коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь. Если он равен 1, то зависимость является не стохастической, а функциональной.

Теснота связи при криволинейной зависимости измеряется с помощью корреляционного отношения. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение:

Теоретическое корреляционное отношение рассчитывается по формулам:

С помощью теоретического корреляционного отношения измеряется теснота связи любой формы, а посредством линейного коэффициента корреляции – только прямолинейной связи.

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменение одной величины обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин (факторов).

По форме зависимости различают

- линейную регрессию, которая выражается уравнением прямой (линейной функции) вида:

- нелинейную регрессию, которая выражается уравнениями вида:

Парабола –

Гипербола –

По направлению связи различают:

- прямую регрессию (положительную), возникающую при условии, если с увеличением или уменьшением независимой величины значения зависимой также соответственно уменьшается или увеличивается.

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным.

Оценка параметров уравнения регрессии а₀ и а₁ осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметров модели, при котором минимизируется сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических, полученных по уравнению регрессии:

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:

где n – объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдений).

В уравнениях регрессии параметр а₀ показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных факторов; параметр а₁ – коэффициент регрессии показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при изменении факторного на единицу его собственного измерения.

Изучение связи между тремя и более связанными между собой признаками носит название множественной (многофакторной) регрессии. При исследовании зависимостей методами множественной регрессии требуется определить аналитическое выражение связи между результативным признаком (Y) и множеством факторных признаков (х₁, х₂, х₃, … х_n).

Практика построения многофакторных моделей показывает, что все реально существующие зависимости между социально-экономи­ческими явлениями можно описать, используя пять типов моделей:

- линейная ;

- степенная ;

- показательная ;

- параболическая ;

- гиперболическая .

При наличии линейной связи между результативным и несколькими факторными признаками, а также между парой факторных признаков определяется множественный коэффициент корреляции:

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1. Чем ближе R к единице, тем сильнее связь между признаками.

Часто исследуемые признаки имеют разные единицы измерения, поэтому для оценки влияния факторного признака на результативный применяется коэффициент эластичности. Он рассчитывается для каждой точки и в среднем по всей совокупности по формуле:

где

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется результативный признака при изменении факторного
на 1 %.

Чтобы иметь возможность судить о сравнительной связи влияния отдельных факторов и о тех резервах, которые в них заложены, должны быть вычислены частные (средние) коэффициенты эластичности, а также бета-коэффициенты и дельта-коэффициенты.

Различия в единицах измерения факторов устраняют с помощью частных (средних) коэффициентов эластичности, которые рассчитываются по формуле:

где

Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов в среднем изменяется анализируемый показатель с изменением на 1 % каждого фактора при фиксированном значении других факторов.

Бета-коэффициент используется для определения факторов, в развитии которых заложены наиболее крупные резервы улучшения изучаемого показателя; необходимо учесть различия в степени варьирования вошедших в уравнение факторов. Он вычисляется по формуле:

где

Бета-коэффициент показывает, на какую часть среднего квадратического отклонения изменяется результативный признак с изменением соответствующего факторного признака на величину его среднего квадратического отклонения.

Дельта-коэффициент показывает, какова доля вклада анализируемого фактора в суммарное влияние всех отобранных факторов. Он может быть вычислен по формуле:

где R² – коэффициент множественной детерминации, который представляет собой квадрат линейного коэффициента корреляции. Его числовое значение всегда заключено в пределах от 0 до 1. Он характеризует долю вариации (разброса) зависимой переменной. Значение коэффициента детерминации непосредственно указывает степень влияния независимого фактора на результативный показатель.