если все определители системы равны нулю ( ), то система уравнений имеет бесчисленное множество решений

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

x_i = D_i/D, где

D = det A, а D_i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i.

D_i =

Пример.

A = ; D₁= ; D₂= ; D₃= ;

x₁ = D₁/detA; x₂ = D₂/detA; x₃ = D₃/detA;

Пример. Найти решение системы уравнений:

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = –25 – 10 + 5 = –30;

D₁ = = (28 – 48) – (42 – 32) = –20 – 10 = –30.

x₁ = D₁/D = 1;

D₂ = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = –100 + 40 = –60.

x₂ = D₂/D = 2;

D₃ = = 5(32 – 42) + (16 – 56) = –50 – 40 = –90.

x₃ = D₃/D = 3.

Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом.

Если система однородна, т.е. b_i = 0, то при D¹0 система имеет единственное нулевое решение x₁ = x₂ = … = x_n = 0.

При D = 0 система имеет бесконечное множество решений.

Для самостоятельного решения:

; Ответ: x = 0; y = 0; z = –2.

Пример 1. Решить СЛАУ методом Крамера .

Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом . Найдем главный определитель СЛАУ

.

Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя

;

;

.

Воспользуемся формулами Крамера

; ; .

З2. После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляется в нормализованную систему линейных алгебраических уравнений.

Выполним проверку . Отсюда видно, что СЛАУ решена верно.

2. Матричный способ решения СЛАУ.

Для решения СЛАУ матричным способом введем в рассмотрение матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных , матрицу-столбец неизвестных и матрицу столбец свободных коэффициентов . Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде . Матричный способ решения СЛАУ состоит в следующем: умножим слева матричное уравнение на обратную матрицу к матрице , получим ; в силу того, что произведение и , найдем . Таким образом, для нахождения неизвестных матричным способом, надо найти обратную к матрицу , после чего надо умно-жить эту матрицу на матрицу-столбец свободных коэффициентов.

Пример 2. Решить СЛАУ матричным способом .

Введем в рассмотрение следующие матрицы

; ; .

Найдем матрицу (см. Лекцию № 1): найдем детерминант матрицы (см. Пример 1 этой Лекции) . Найдем алгебраические дополнения всех элементов :

.

Запишем обратную матрицу (в правильности нахождения обратной матрицы убедиться самостоятельно). Подействуем найденной матрицей на матрицу-столбец свободных коэффициентов :

.

Отсюда находим, что . После нахождения решения СЛАУ надо сделать проверку