Могут ли граждане Украины на законных основаниях отказаться от прививок себе или своим детям?

Да, могут.

Во-первых, прививки, как и другие процедуры (такие, как проба Манту, флюорография, анализы крови и т.п.), являются видом медицинской помощи, от которой можно отказаться:

Цивільний кодекс України:

Ст.284. 3. Надання медичної допомоги фізичній особі, яка досягла чотирнадцяти років, провадиться за її згодою.

4. Повнолітня дієздатна фізична особа... має право відмовитися від лікування.

Конвенція про захист прав і гідності людини щодо застосування біології та медицини (Конвенція про права людини та біомедицину):

Ст. 5 Будь-яке втручання у сферу здоров'я може здійснюватися тільки після добровільної та свідомої згоди на нього відповідної особи. Відповідна особа у будь-який час може безперешкодно відкликати свою згоду.

Ст. 6 2. Якщо відповідно до законодавства неповнолітня особа є недієздатною давати свою згоду на втручання, таке втручання може здійснюватися тільки із дозволу її представника.

Во-вторых, прививки являются методом профилактики, и притом довольно рискованным (как мы уже видели выше), который может применяться только при согласии пациента:

Закон України «Основи законодавства України про охорону здоров'я»:

Ст.42 Ризиковані методи... профілактики... визнаються допустимими, якщо вони... застосовуються за згодою інформованого про їх можливі шкідливі наслідки пацієнта

Ст.43 Згода інформованого пацієнта необхідна для застосування методів... профілактики... Щодо пацієнта, який не досяг віку 15 років, медичне втручання здійснюється за згодою їх законних представників.

В-третьих, возможность отказа от прививок непосредственно оговорена законом:

Закон України «Про захист населення від інфекційних хвороб»:

Ст.12 Повнолітнім дієздатним громадянам

профілактичні щеплення проводяться за їх згодою... Особам, які не досяглії п'ятнадцятирічного віку... щеплення проводяться за згодою їх батьків. Особам віком від п'ятнадцяти до вісімнадцяти років профілактичні щеплення проводяться за їх згодою та за згодою батьків...

Відомості про... відмову від обов'язкових профілактичних щеплень підлягають статистичному обліку. Якщо особа та (або) її законні представники відмовляються від обов'язкових профілактичних щеплень, лікар має право взяти у них відповідне письмове підтвердження.