Розділ ІІІ. Прикладні задачі

Задача 1. Льотчик веде літак у напрямі до міста В, розташованому на одній паралелі на захід від злітного майданчика. Знайти рівняння траєкторії польоту літака, якщо його швидкість км/год і вітер дме з півдня із швидкістю км/год. Злітний майданчик знаходиться на відстані км від міста В.

мал. 4

Розв'язання. Нехай — положення літака у момент часу t (мал. 4). Вектор, що представляє його швидкість, має величину v і направлений до точки В. Нехай — кут, утворений вектором з горизонталлю, що сполучає злітний майданчик і місто В. Вектор швидкості вітру направлений на північ і має величину w.

Тоді діагональ паралелограма, утвореного векторами і , представляє дійсний напрям вектора швидкості літака у момент t. Діагональ повинна стосуватися траєкторії літака в точці М. Отже, вона утворює нахил з шуканою кривою. Тому завдання зводиться до визначення рівняння, яке виражає похідну у вигляді функції х і у.

Відповідні складові швидкості літака в напрямках х і у будуть

(6.1)

Тому дійсна швидкість літака в напрямку у з урахуванням швидкості вітру

(6.2)

З мал. 4 очевидно, що

Підставляючи ці значення в перше рівняння (6.1) і в рівняння (6.2), отримаємо

(6.3)

Ділення другого рівняння (6.3) на перше рівняння (6.1) дає

(6.4)

Нехай тепер

тобто k — коефіцієнт відношення швидкостей вітру і літака. Отже, рівність (6.4) набуде вигляду

(6.5)

Рівняння (6.5) є однорідним рівнянням. Перетворимо його до інтегрованого виразу

або

(6.6)

Початкові умови: при , , , .

Інтегруючи рівняння (6.6), маємо

звідки

(6.7)

Нехай

(6.8)

Тоді рівність (6.7) приймає вигляд

або

звідки

або

Звідси отримуємо, що

Повертаючись, згідно співвідношенню (8), до попередньої змінної, маємо:

мал. 5

Підставляючи , остаточно отримуємо рівняння траєкторії

(6.9)

Досліджуємо залежність розв’язоку від параметрів.

Випадок 1. Швидкість вітру w рівна швидкості літака v. В цьому випадку розв’язок (6.9) ухвалює вигляд

звідки

тобто рівняння траєкторії представляє параболу (мал. 5). Літак ніколи не досягне місця призначення.

Випадок 2. Швидкість вітру w більше швидкості літака v. В цьому випадку , так що . Тому при величина

мал. 6

Отже, згідно рівності (6.9), при . Знову літак ніколи не досягне місця призначення. Траєкторія показана на мал. 5 при .

Випадок 3. Швидкість вітру w менше швидкості літака v. В цьому випадку , так що . З рівняння (6.9) очевидно, що при х=0, y=0. Тому літак досягне міста В. Приблизна траєкторія зображається на мал. 5 при .

Задача 2. Льотчик веде літак, передня частина якого направлена до міста N, розташованого на одній паралелі західніше злітного майданчика на відстані а км. Знайти рівняння траєкторії польоту, якщо вітер дме із швидкістю w в напрямку, створюючому кут з вертикаллю (мал. 6).

Розв'язання. Як видно з мал. 7, рівнодіюча дійсних швидкостей вітру і літака в напрямках х і у набуде вигляду

(7.1)

мал. 7

Розділимо друге рівняння (7.1) на перше, внаслідок чого отримаємо

(7.2)

В рівнянні (7.2) виконуємо заміни:

У результаті отримуємо однорідне рівняння

(7.3)

в якому величини v, w cos а і w sin а постійні. Рівняння (З) перетворимо за допомогою підстановки , , звідки

Виконуючи множення, подальше скорочення і приведення подібних членів, маємо

звідки після ділення рівності на х отримуємо

(7.4)

Інтегруючи рівняння (7.4) і замість u підставляючи , приходимо до рівності

яке елементарними перетвореннями приводиться до вигляду

Після потенціювання загальний інтеграл рівняння прийме вигляд

(7.5)

Початкова умова: при х=а, у=0. Звідси

або

Підставляючи знайдене значення C в рівняння (7.5), після скорочення на i отримуємо шукане рівняння траєкторії польоту

.