Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
І. Задачі, які приводять до диференціальних рівняньСтр 1 из 5Следующая ⇒ План Вступ Розділ І. Задачі, які приводять до диференціальних рівнянь. Розділ ІІ. Диференційні рівняння в прикладних задачах 2.1. Методика складання диференціальних рівнянь 2.2. Схема складання диференціального рівняння Розділ ІІІ. Прикладні задачі Висновки Список використаної літератури
Вступ Під час розв'язування багатьох практичних задач доводиться знаходити невідому функцію з рівняння, яке містить поряд з цією невідомою функцією її похідні. Рівняння, яке містить невідому функцію та її похідні, називається диференціальним. Порядок найвищої похідної, яка входить до диференціального рівняння, називається його порядком. Наприклад, рівняння y ''+ 4у = 0 є диференціальним рівнянням другого порядку. Якщо до рівняння входить незалежна змінна, невідома функція і її похідна, то це рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо, крім того, в рівняння входить похідна другого порядку від шуканої функції, то рівняння називається диференціальним рівнянням другого порядку і т. д. В даній роботі буде розглянуто прикладні задачі, які зводяться до розв’язання диференціальних рівнянь, а також розглянута методика та схема розв’язання диференціальних рівнянь. І. Задачі, які приводять до диференціальних рівнянь. Використання математичних моделей є одним з найбільш ефективних методів вивчення різноманітних фізичних процесів і явищ. Математичні моделі допомагають зрозуміти фізичний процес, дають можливість установити якісні та кількісні характеристики його стану, з їх використанням можна передбачити подальший розвиток процесу без натуральних експериментів, проведення яких у багатьох випадках є надто дорогим або просто неможливим. Вивчаючи фізичні явища, не завжди вдається безпосередньо знайти закони або формули, які пов’язують між собою величини фізичного процесу, але часто можна виявити певну функціональну залежність між невідомими характеристиками процесу, швидкостями їх зміни й часом, тобто знайти рівняння, які містять похідні невідомих характеристик процесу. Розв’язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу можна розділити на два етапи: 1. Складання диференціального рівняння, яке при певних припущеннях описує сутність явища чи процесу. 2. Знаходження розв’язку диференціального рівняння, тобто функціональної залежності між величинами, які характеризують фізичне явище. Для складання диференціальних рівнянь природничих наук використовують фізичний зміст першої та другої похідних, а також додаткові умови та закони, притаманні конкретній галузі науки, такі як-от: - другий закон Ньютона (, де т – маса тіла, а – прискорення руху, – сума сил, що діють на тіло); - закон всесвітнього тяжіння (, де – маси двох тіл, r – відстань між ними); - закон Кірхгофа (алгебрична сума сил струмів, які протікають у певній точці електричного кола, дорівнює нулю); - закон Фур’є (, де – питомий потік теплоти, – коефіцієнт теплопровідності середовища, – швидкість зміни температури Т); - закон Ньютона про охолодження тіла (швидкість охолодження тіла пропорційна різниці температур тіла та середовища); - закон розчинення речовини (швидкість розчинення пропорційна наявній кількості нерозчиненої речовини та різниці концентрацій насиченого розчину і розчину у певний момент часу); - закон Гука (сила пружності пружини пропорційна її видовженню) тощо. Питання про відповідність математичної моделі й реального явища вивчається на основі аналізу результатів досліду та їх порівняння з поведінкою розв’язку одержаного диференціального рівняння. Зауважимо, що багато розділів фізики значною мірою можна розглядати як різні розділи теорії диференціальних рівнянь. Перш за все це виявляється в аналітичній механіці, яку багато вчених розглядають як математичну дисципліну. Основним апаратом сучасної теоретичної фізики також є диференціальні рівняння. Розглянемо деякі прикладні задачі, які приводить до диференціальних рівнянь. Задача 1. Матеріальна точка Р рухається по прямій, яку приймемо за вісь x, і в момент часу t займає положення х (рис. 1.1). Відома швидкість руху v(t). Знайти закон руху точки, тобто залежність х від t, якщо відомо, що у момент часу точка Р займає положення .
Рис. 1.1
Розв’язання. З курсу математичного аналізу відомо, що швидкість точки у момент часу t дорівнює похідній х'(t) (фізичний зміст похідної), тобто х'(і)= v(t). (1.1) Співвідношення (1.1) є диференціальним рівнянням руху точки Р і задає закон її руху в диференціальній формі. Інтегруючи рівняння (1.1), одержуємо: де C — довільна стала (стала інтегрування). За умовою задачі, x(t0) = x0. Підставляючи в (1.2) x = x0 і t = , одержуємо, що C =x0. Отже, шуканим розв’язком (рухом) є
Розглянемо задачу геометричного змісту. Розв‘язання цієї задачі допоможе з‘ясувати зміст довільних сталих. Задача 2. Знайти рівняння кривої, що проходить через точку М (1;2), якщо кутовий коефіцієнт проведеної до нього дотичної дорівнює 4x3. Розв‘язання. У цій задачі треба знайти формулу, що задає функцію F, похідною якої є функція f (x) = 4x3 , тобто треба знайти первісну функції y=4x3. Крім того, відомо, що графік шуканої функції проходить через задану точку М (1;2). Множина первісних всіх функцій для функції y=4x3 має вигляд F(x) = x4+С, де С – довільна стала. Щоб виділити з цієї множини первісну, графік якої проходить через точку М (1;2), враховується, що коли x=1, значення функції F (1) має дорівнювати 2. Підставляючи у рівність F(x) = x4+С замість x число1, а замість F(x) – число 2, дістанемо 2 = 1 + С, звідки С=1. Підставляючи значення С в ту саму рівність дістанемо, що F(x) = x4+1 – шукане рівняння кривої, яка проходить через точку М (1;2).
|