Модель теории арбитражного ценообразования

Альтернативной моделью ценообразования является теория арбитражного ценообразования (Arbitrage Pricing Model, APT), основы которой были сформулированы американским экономистом С. Россом. Известным толчком к ее развитию послужили результаты эмпирических проверок модели САМР.

Главным предположением теории АРТ является то, что каждый инвестор стремится использовать возможность увеличения доходности своего портфеля без увеличения риска. Механизмом, способствующим реализации данной возможности, является арбитражный портфель. Арбитраж - это получение безрисковой прибыли путем использования разных цен на одинаковые продукцию или ценные бумаги. Арбитраж, являющийся широко распространенной инвестиционной тактикой, обычно состоит из продажи ценной бумаги по относительно высокой цене и одновременной покупки такой же ценной бумаги (или ее функционального эквивалента) по относительно низкой цене.

Арбитражная деятельность является важной составляющей современных эффективных рынков ценных бумаг. Поскольку арбитражные доходы являются безрисковыми по определению, то все инвесторы стремятся получать такие доходы при каждой возможности. Сущность арбитража проявляется при рассмотрении различных цен на определенную ценную бумагу. Однако «почти арбитражные» возможности могут существовать и у похожих ценных бумаг или портфелей. Определить, подходит ли ценная бумага или портфель для арбитражных операций, можно различными способами. Одним из них является анализ общих факторов, которые влияют на курс ценных бумаг.

Факторная модель подразумевает, что ценные бумаги или портфели с одинаковыми чувствительностями к факторам ведут себя одинаково, за исключением внефакторного риска. Поэтому ценные бумаги или портфели с одинаковыми чувствительностями к факторам должны иметь одинаковые ожидаемые доходности, в противном случае имелись бы «почти арбитражные» возможности. APT основывается на том, что как только такие возможности появляются, деятельность инвесторов приводит к их исчезновению.

В соответствии с APT инвестор исследует возможности формирования арбитражного портфеля для увеличения ожидаемой доходности своего текущего портфеля без увеличения риска. APT исходит из предположения о связи доходности ценных бумаг с некоторым количеством неизвестных факторов. Предположим, что имеется только один фактор и этим фактором является предсказанный темп роста промышленного производства или индекс РТС. В таком случае доходность ценных бумаг определяется в соответствии со следующей однофакторной моделью:

(4.7)

где E(r_i) - ставка доходности i -ой ценной бумаги;

F ₁ - значение какого-либо фактора, (например, предсказанный темп роста промышленного производства или индекс РТС);

a_i - ожидаемая доходность i -го актива;

b_i - чувствительность i -ой ценной бумаги к значению фактора (F ₁);

e_i - несистематическая доходность i -ой ценной бумаги.

При формировании арбитражного портфеля следует соблюсти два условия. Во-первых, это портфель, который не нуждается в дополнительных ресурсах инвестора. Если через V_i обозначить изменение в стоимости ценной бумаги i в портфеле инвестора (а значит, и ее вес в арбитражном портфеле), то это требование к арбитражному портфелю может быть записано так:

(4.8)

Во-вторых, арбитражный портфель не чувствителен ни к какому фактору. Поскольку чувствительность портфеля к фактору является взвешенной средней чувствительностей ценных бумаг портфеля, то это требование арбитражного портфеля в общем виде может быть записано так:

, (4.9)

где b_ij чувствительность i -го фактора на j -ый;

j - число факторов.

Модель APT утверждает, что доходность i-го актива, как случайная величина, выражается для двухфакторной модели следующим образом:

. (4.10)

Инвесторы будут формировать также арбитражные портфели, пока не будет достигнуто равновесие. Это означает, что равновесие будет достигнуто, когда любой портфель, удовлетворяющий уравнениям (4.6), (4.7) и (4.8) будет иметь нулевую ожидаемую доходность. При этом связь между доходностями и чувствительностями будет линейной:

(4.11)

Основные преимущества APT перед САМР заключаются в том, что она не делает ограничительных предположений о предпочтениях инвестора относительно риска и доходности, относительно функций распределения доходностей ценных бумаг и не предполагает построения «истинного» рыночного портфеля. Вместе с тем APT не слишком широко используется инвесторами. Основная причина этого заключается в неопределенности относительно факторов, которые систематически влияют на доходы по ценным бумагам.

Пример 4.1. Инвестор обладает акциями трех видов. Текущая рыночная стоимость каждого его актива равна 60 тыс.руб. Эти акции имеют следующие ожидаемые доходности и чувствительности:

Составить арбитражный портфель.

Сначала определим множество потенциальных арбитражных портфелей:

Существует бесконечное число комбинаций значений Х₁, Х₂, Х₃, удовлетворяющих этим ограничениям.

Для того, чтобы найти одну комбинацию, предположим, что = 0,1.

Тогда

Из первых двух уравнений системы находим Х₂ = 0,075, Х₃ = -0,175. эти значения удовлетворяют неравенству системы.

Таким образом, Х₁ = 0,1, Х₂ = 0,075, Х₃ = -0,175.

Рыночная стоимость исходного портфеля равна W₀ = 50000 + 50000 + 50000 = 150000 руб.

Нужно купить акций 1-го вида на сумму Х₁W₀ = 0,1*150000 = 15000 руб. и акций 2-го вида на сумму Х₂W₀ = 0,075*11250 руб., продав акций 3-его вида на сумму Х₃W₀ = 0,175*26250 руб.