Теоремы

1.Монотонная последовательность имеет предел

1. Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она сходится к конечному пределу;

2. Если последовательность монотонно возрастает, но неограниченна сверху, то .

Доказательство.

Часть 1. Пусть ограниченны сверху, т.е. такое, что . Тогда, согласно теореме о существовании супремума мы можем утверждать, что .

Вспомним свойства . Их было два

1.

2.

Но учтем теперь что . Это значит, что . Тогда имеем следующую цепочку неравенств

Выбрасывая лишнее получим,что или ,что и говорит о том, что .

Заметьте, что предел равен как раз супремуму множества .

Часть 2. Пусть теперь неограниченна сверху. Это значит, что .

Но . Значит, и поэтому можно записать . Выбрасывая в этом неравенстве , получим окончательно

что и говорит о том, что .

2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. , где б.м.п. В силу этого ограничена, т.е. .

Но тогда , т.е. ограничена.

Умножение и деление последовательностей. Произведение последовательностей = . Частное последовательностей .

Сложение и вычитание последовательности.

Пусть даны две последовательности и .

Суммой и называется последовательность вида

+ = .

Разностью - последовательность видa

- = .

4.Предельный переход в неравенствах

Пусть - сходящаяся последовательность и . Тогда .

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Обозначим . Тогда утверждение, противоположное доказываемому, имеет вид:

.

Возьмем . Тогда, по определению, предела последовательности, можно написать

.

Последнее неравенство распишем в виде двойного

Но так как , то и получается что , что противоречит условию теоремы.

Следствие. Если и сходящиеся последовательности и , то .

Доказательство дается следующей цепочкой следствий

=> => => =>

Важное замечание. Допустим, что в условии теоремы вместо мы написали . Можно ли утверждать, что ?

Ответ отрицательный. Действительно, пусть, например, . Тогда , но .

Таким образом, итог этой теоремы и замечание выглядит так: в неравенствах допустим предельный переход, надо только иметь ввиду, что после предельного перехода строгое неравенство (типа > или <) может замениться на нестрогое (> перейдет в , < перейдет в ).

5.Теормема о 2х милиционерах

Пусть

1. и сходящиеся последовательности;

2. ;

3.

Тогда также сходящаяся последовательность и .

Доказательство:

=>

или

=>

или .

Беря и учитывая, что можно записать

.

Выбрасывая лишнее, получим что

или ,

что и говорит о том, что .

Эту теорему часто называют “теоремой о двух милиционерах” (, - милиционеры, - преступник, которого они “берут в клещи”).

6.Бином Ньютона

Докажем это равенство индукцией по n:

База индукции:

Шаг индукции: Пусть утверждение для верно:

Тогда надо доказать утверждение для :

Начнём доказательство:

Извлечём из первой суммы слагаемое при

Извлечём из второй суммы слагаемое при

Теперь сложим преобразованные суммы:

7.