Решение. Рассмотрим ∆ABN. Применим теорему Менелая для этого треугольника (прямая, проходящая через точки M

Рассмотрим ∆ABN. Применим теорему Менелая для этого треугольника (прямая, проходящая через точки M, S, C – секущая прямая)

AM MB * BC SN * CN CA = 1

Из условия задачи имеем: AM MB = 1 2

NC CA = NC CN + NA = NC CN + 2NC = NC 3 NC = 1 3

Подставим эти результаты и получим:

1 2 * BS SN * 1 3 = 1

Отсюда BS/SN = 6. А, значит, точка S пересечения отрезков BN и CM делит отрезок BN в отношении 6: 1.

Рассмотрим ∆ACM. Применим теорему Менелая для этого треугольника (прямая, проходящая через точки N, S, B – секущая прямая):

AN NC * CS SM * MB BA = 1

Из условия задачи имеем: AN NC = 2

MB BA = MB BM + MA = 2MA 2MA + MA = 2MB 3MA = 2 3

Подставим эти результаты и получим:

2 * CS SM * 2 3 = 1

Отсюда CS/SM = 3/4

А, значит, точка S пересечения отрезков BN и CM делит отрезок CM в отношении 3: 4.

Справедлива и обратная теорема к теореме Менелая. Она часто оказывается еще более полезной. Особенно хорошо она работает в задачах на доказательства. Нередко с ее помощью красиво, легко и быстро решаются даже олимпиадные задачи.

Теорема 2 (Обратная теорема Менелая). Пусть дан треугольник ABC и точки D, E, F принадлежат соответственно прямым BC, AC, AB (отметим, что они могут лежать как на сторонах треугольника ABC, так и на их продолжениях) (рис. 4).

Тогда, если AF FC * CE EB * BD DA = 1

то точки D, E, F лежат на одной прямой.

Доказательство. Докажем теорему методом от противного. Предположим, что соотношение из условия теоремы выполняется, но точка F не лежит на прямой DE (рис. 5).

Обозначим точку пересечения прямых DE и AB буквой O. Теперь применим теорему Менелая и получим: AE EC * CD DB * BO OA = 1

Но, с другой стороны, равенство BF FA = BO OA

не может выполняться.

Поэтому соотношение из условия теоремы не может быть выполнено. Получили противоречие.

Теорема доказана.

ОСТАЛИСЬ ВОПРОСЫ?

Наши опытные репетиторы помогут вам разобраться с любым из