На сторонах AB и BC ∆ABC даны соответственно точки M и N такие, что выполняются следующие равенства

Задача 1.

В ∆ABC биссектриса AD делит сторону BC в отношении 2: 1. В каком отношении медиана CE делит эту биссектрису?

Решение.

С помощью вспомогательного построения:

Пусть S – точка пересечения биссектрисы AD и медианы CE. Достроим ∆ASB до параллелограмма ASBK. (рис. 2)

Очевидно, что SE = EK, так как точка пересечения параллелограмма делит диагонали пополам. Рассмотрим теперь треугольники ∆CBK и ∆CDS. Нетрудно заметить, что они подобны (признак подобия по двум углам: и как внутренние односторонние углы при параллельных прямых AD и KB и секущей CB). Из подобия треугольника вытекает следующее:

KB SD = CB CD

Используя условие, получим:

CB CD = CD + DB CD = CD + 2CD CB = 3CD CD = 3

Теперь заметим, что KB = AS, как противолежащие стороны параллелограмма. Тогда

AS SD = KB SD = CB CD = 3

С помощью теоремы Менелая.

Рассмотрим ∆ABD и применим к нему теорему Менелая (прямая, проходящая через точки C, S, E – секущая прямая):

BE EA * AS SD * DC CB = 1

По условию теоремы имеем BE/EA = 1, так как CE – медиана, а DC/CB = 1/3, как мы уже подсчитали ранее. Подставим эти результаты и получим:

1 * AS SD * 1 3 = 1

Отсюда получаем AS/SD = 3 На первый взгляд оба решения достаточно компактны и примерно равноценны. Однако, идея дополнительного построения для школьников часто оказывается очень сложна и совсем не очевидна, тогда как, зная теорему Менелая, ему достаточно лишь правильно ее применить.

Рассмотрим еще одну задачу, в которой очень изящно работает теорема Менелая.

Задача 2.

На сторонах AB и BC ∆ABC даны соответственно точки M и N такие, что выполняются следующие равенства

AM MB = CN NA = 1 2

В каком соотношении точка S пересечения отрезков BN и CM делит каждый из этих отрезков (рис. 3)?