Методика розв’язування задач

Розглянемо два типи задач, коли на тілі, що обертається, розташовані тіла, які вважаємо матеріальними точками:

а) розташування тіл у механічній системі не змінюється при дії на неї моменту зовнішніх сил:

1. Суміщаємо вісь з віссю обертання твердого тіла (платформи).

2. Знаходимо проекції моменту імпульсу механічної системи для початкового стану, коли тіла нерухомі відносно платформи

, (1)

де – момент інерції платформи відносно осі , –початкова кутова швидкість, та – маси та віддалі тіл (які вважаємо матеріальними точками) від осі ().

2. Обчислюємо зміну моменту імпульсу за рахунок моменту зовнішніх сил протягом заданого часу

. (2)

3. На підставі теореми про зміну моменту імпульсу записуємо рівняння

, (3)

з якого знаходимо кінцеву кутову швидкість системи.

б) на систему не діє момент зовнішніх тіл, але в системі відбувається рух тіл, які входять у систему:

1. Суміщаємо вісь з віссю обертання твердого тіла (платформи).

2) Знаходимо проекцію моменту імпульсу механічної системи для початкового стану, коли тіла нерухомі відносно платформи

, (4)

де – момент інерції платформи відносно осі , – початкова кутова швидкість, та – маси та віддалі тіл (які вважаємо матеріальними точками) від осі ().

3. Знаходимо момент імпульсу механічної системи для моменту часу , коли точки системи рухаються відносно платформи. В цьому випадку абсолютну швидкість кожної точки системи знаходимо за формулою складання швидкостей складного руху

. (5)

Тому для моменту імпульсу рухомої матеріальної точки записуємо

+ .

Вважаючи, що напрям обертання не змінюється, для кінцевого значення компонента моменту імпульсу механічної системи отримуємо

, (6)

де – віддаль від осі обертання до лінії, вздовж якої напрямлений вектор переносної швидкості ; – віддаль від осі обертання до лінії, вздовж якої напрямлений вектор відносної швидкості . Оскільки для переносної швидкості точки , де – відстань точки від осі обертання для моменту часу , тоді з рівняння (6) отримуємо

. (7)

4. Прирівнюючи вирази (4) та (7) отримаємо рівняння

,

звідки знаходимо кінцеву кутову швидкість обертання .

Приклад 1. Однорідний диск маса якого = 400 кг і радіус = 5 м обертається навколо фіксованої осі, яка проходить через його центр перпендикулярно до його площини з початковою кутовою швидкістю = 4 рад/с (рис. 3.3). На відстані м від осі обертання в стані спокою знаходиться механізм масою = 150 кг. В момент часу = 0 починає діяти момент зовнішніх сил . Визначити кутову швидкість обертання тіла в момент часу с.

Далі тіло обертається за інерцією з досягнутим значенням кутової швидкості. В деякий новий момент часу самохідний механізм переміщується в нове положення на відстань = 2 м від центру диску та зупиняється. Вважаючи механізм матеріальною точкою, знайти кутову швидкість диску на цей момент, нехтуючи тертям у підшипниках.

Розв’язання. Розглянемо рух механічної системи, сумістивши вісь системи відліку з віссю обертання диску. Скористаємося теоремою про зміну моменту імпульсу механічної системи

,

де – - компонент моменту імпульсу системи, який складається з диска та механізму; - головний момент зовнішніх сил, прикладений до системи, відносно осі .

Сили, які діють на систему - це сили тяжіння та , реакції підп’ятника та підшипника і пара сил з моментом . Сили тяжіння спрямовані паралельно осі обертання і, відповідно, їхні моменти відносно цієї осі дорівнюють нулю. Не створюють моменту і сили реакції, бо вони перетинають вісь . Отже, головний момент зовнішніх сил дорівнює моменту .

Момент імпульсу системи є сумою моментів імпульсів її елементів. Момент імпульсу диску, який має момент інерції відносно осі та обертається навколо неї з кутовою швидкістю визначається за формулою

,

в який - момент інерції диску відносно осі обертання.

Для матеріальної точки, згідно з визначенням (3.1) запишемо проекцію її моменту імпульсу на вісь як

,

де - радіус-вектор, який проведено від осі обертання до точки, а - абсолютна швидкість точки. Якщо точка не рухається відносно диску , то абсолютна швидкість точки, дорівнює її переносній швидкості, яка визначається за формулою Ейлера

,

отже

.

Таким чином проекція моменту імпульсу системи на вісь може бути записана у вигляді

,

а рівняння зміни моменту імпульсу під дією зовнішнього моменту сил приймає вигляд

.

Розділимо змінні та зінтегруємо праву та ліву частини рівняння

,

та отримуємо

.

Підставляючи чисельні значення, знаходимо

(рад/c).

Після того, як перестав діяти момент зовнішніх сил , диск обертається у відсутності сил тертя за інерцією. Така ситуація дає можливість скористатись теоремою про збереження моменту імпульсу відносно цієї осі

,

де та - відповідно - компоненти початкового і кінцевого моменту імпульсу системи. Прирівнюючи отримані вирази для моменту імпульсу системи у початковий та кінцевий моменти часу маємо

= ,

що дозволяє отримати вираз для розрахунку кінцевої кутової швидкості обертання диску

.

Підставляючи чисельні значення, знаходимо

(рад/c).

Відповідь: = 4,6 рад/с.

Приклад 2. Однорідний диск маса якого = 300 кг і радіус = 8 м обертається навколо фіксованої осі, яка проходить через його центр перпендикулярно до його площини з кутовою швидкістю = 5 рад/с. На відстані = 7 м від центру диску в стані спокою знаходиться механізм масою = 100 кг. В момент часу = 0 механізм починає рухатись вздовж кола незмінного радіуса за законом в напрямі обертання диску (відстань в метрах, час в секундах). Вважаючи механізм матеріальною точкою, знайти кутову швидкість диску як функцію часу та її значення на момент часу = 2 с.

Розв’язання. Сумістимо вісь системи відліку з віссю обертання диску та позначимо сили, які діють на систему - це сили тяжіння диска та механізму , реакції підп’ятника та підшипника (рис. 4). Ці сили не створюють моментів відносно осі , тому скористуємось теоремою про збереження компоненти моменту імпульсу відносно цієї осі

,

де та початковий і кінцевий моменти імпульсу системи відповідно. Вираз для початкового моменту знайдено у попередньому прикладі

.

Коли механізм почне рухатися, абсолютна швидкість точки складається зі швидкості відносного та переносного рухів, яку має будь-яка точка диску завдяки обертанню диска, тому для моменту імпульсу точки маємо

,

де - радіус-вектор, який проведено від осі обертання до точки. Швидкість переносного руху точки у довільний момент часу

,

модуль відносної швидкості визначимо як першу похідну відносного переміщення точки за часом

,

і спрямована вона по дотичній до траєкторії відносного руху.

Беручи до уваги напрям руху точки та, вважаючи, що напрям обертання диску не змінився, для абсолютної швидкості точки отримаємо

.

Записуємо кінцевого значення - компонента моменту імпульсу точки

,

і остаточно для кінцевого значення - компонента моменту імпульсу системи знайдемо

,

де - кінцева кутова швидкість обертання диску.

Тоді з умови збереження - компоненти моменту імпульсу механічної системи отримуємо вираз для знаходження кінцевої кутової швидкості диску

.

Підставимо дані задачі та обчислимо значення для кінцевої кутової швидкості диску на момент часу = 2 с

= 4,03 (рад/с).

Відповідь: = 4,03 рад/с.

Приклад 3. Квадратна однорідна платформа маса якої = 300 кг і розмір = 3 м обертається навколо фіксованої осі, що проходить через центр платформи перпендикулярно до її площини з кутовою швидкістю = 5 рад/с (рис. 3.5). Механізм масою = 50 кг знаходиться в точці в стані спокою. В момент часу = 0 починає діяти момент зовнішніх сил (Н^.м) і діє протягом часу . Визначити кутову швидкість обертання тіла та її значення при = 4 с.

Після цього в новий момент часу = 0 механізм починає рухатись вздовж прямої за законом (відстань в метрах, час в секундах). Вважаючи механізм матеріальною точкою, знайти кутову швидкість платформи на момент часу = 1 с.

Розв’язання. Сумістимо вісь системи відліку з віссю обертання платформи та позначимо сили, які діють на систему - це сили тяжіння диска та механізму , реакції підп’ятника та підшипника та пара сил з моментом (рис.6). Головний момент зовнішніх сил визначається тільки моментом , оскільки усі вказані сили не створюють моментів відносно осі .

Запишемо теорему про зміну моменту імпульсу механічної системи.

. (1)

де та - початковий і кінцевий моменти імпульсу системи відповідно.

Знайдемо вираз для моменту імпульсу механічної системи у довільний момент часу. Він складається з моментів імпульсів платформи та нерухомого відносно платформи механізму, отже отримуємо

, (2)

де - момент інерції платформи відносно заданої осі обертання.

Оскільки в початковий момент механізм нерухомий, то його абсолютна швидкість дорівнює переносній

,

тому отримуємо

. (3)

Підставляючи дані задачі послідовно знаходимо

= 300∙(3² + 3²)/3 = 1800 (кг∙м²),

= 50∙2∙3²∙ = 900∙ (кг∙м²/c),

.

Після цього обчислюємо інтеграл.

(кг∙м²/c).

Підставляючи отримані результати у формулу (1), отримуємо

,

звідки знаходимо значення кутової швидкості у заданий момент часу з врахуванням умов задачі

(рад/с).

Після цього моменту, згідно з умовами задачі, дія моменту зовнішніх сил припиняється і далі обертання платформи здійснюється у відсутності сил тертя. Це дає можливість скористатися теоремою про збереження моменту імпульсу відносно осі

, (4)

де – компонент моменту імпульсу у довільний момент часу .

Вираз для згідно (3) має вигляд

= . (5)

Коли механізм рухається, його абсолютна швидкість дорівнює , тому вираз для компоненти моменту імпульсу системи у довільний момент часу прийме вигляд

(6)

де – кутова швидкість обертання платформи, та - віддалі від точки до ліній, вздовж яких напрямлені швидкості переносного руху та відносного руху , відповідно.

Для обчислення виразу (6) визначаємо:

1) положення механізму на траєкторії відносного руху

(м).

Оскільки (м), то механізм знаходиться в точці , тобто

2) швидкість переносного руху механізму ;

3) величину . Для цього визначаємо кут з геометричних міркувань = 0,5, тоді = 1,34 (м)

4) швидкість відносного руху = 6,71 (м/с).

Таким чином, вираз для кінцевого значення компоненти моменту імпульсу, з урахуванням напрямів векторів та , запишемо в вигляді

. (6)

Прирівнюючи вирази (4) та (6) отримуємо рівняння для визначення кутової швидкості

.

Звідки знаходимо

= 1,4 (рад/с).

Відповідь: кутова швидкість платформи = 1 рад/с, =1,4 рад/с.