Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Теорема про зміну та збереження моменту імпульсу механічної системиСтр 1 из 3Следующая ⇒ Вектор імпульсу (кількості руху) матеріальної системи характеризує її поступальний рух. Обертальний рух матеріальної системи характеризується іншим вектором - моментом імпульсу (кінетичним моментом). Для окремої матеріальної точки масою момент імпульсу відносно довільної точки простору визначається виразом , (1) де - радіус-вектор проведений з точки до матеріальної точки, - її імпульс. Вектор залежить від імпульсу та положення матеріальної точки відносно точки та характеризує її „обертальний” рух навколо точки в даний момент часу. Векторний добуток можна обчислити за допомогою матриці = , (2) де , , та , , - проекції радіус-вектора та швидкості точки на відповідні вісі. Таким чином, момент імпульсу матеріальної точки може бути знайдений за формулою = = (3) = . Проекції , , вектора моменту імпульсу на декартові вісі , та називають моментом імпульсу матеріальної точки відносно осі. Модуль і напрям вектора моменту імпульсу визначається за правилами . (4) тут – кут між векторами і , а – відстань від точки до лінії вздовж якої спрямована швидкість матеріальної точки . Замість вектора моменту імпульсу матеріальної точки, часто користуються його алгебраїчним значенням, яке визначається за такими ж самими правилами, що і для визначення моменту сили відносно точки. Тоді для точки отримуємо , (5) а для точки (рис.1) . (6) Зауважимо: 1) у випадку прямолінійного рівномірного руху точки, її кінетичний момент відносно заданої точки простору залишається незмінним; 2) момент імпульсу матеріальної точки дорівнює нулю, якщо лінія вздовж якої спрямований вектор імпульсу проходить через цю точку. Момент імпульсу механічної системи є векторною сумою моментів імпульсів (кінетичних моментів) її елементів . (7) Якщо тверде тіло обертається навколо фіксованої осі, то для знаходження моменту імпульсу, тіло розглядають як сукупність матеріальних точок масами , що знаходяться на незмінних відстанях від осі обертання і обертаються з однаковою для всіх точок кутовою швидкістю . Тоді момент імпульсу відносно осі обертання (дивись рис.2) можна обчислити як суму моментів імпульсу елементів тіла відносно неї , (8) що у випадку неперервного розподілу маси дає , (9) де – символ відповідної осі обертання. Сума добутків мас елементів на квадрат їхньої відстані до осі обертання чи відповідний інтеграл по об’єму тіла назив. моментом інерції тіла відносно заданої осі . (10) Ця фізична величина характеризує інертність тіла при обертанні навколо заданої осі, залежить від розподілу маси в тілі, положення осі обертання і вимірюється в кг·м2. Для сукупності паралельних осей обертання момент інерції твердого тіла має мінімальне значення для осі, яка проходить через центр маси твердого тіла. Тоді для будь-якої іншої, паралельної до неї, момент інерції можна визначити за теоремою Гюйгенса-Штейнера , (11) де – маса тіла, а – відстань між центром маси тіла та віссю обертання. Моменти інерції більшості однорідних тіл правильної форми відносно їх центру мас можна знайти у довідниках з фізики чи математики. Похідна за часом від вектора моменту імпульсу механічної системи відносно даного центра дорівнює головному моменту зовнішніх сил відносно того ж центра . (12) Формула (12) є математичним записом теореми про зміну моменту імпульсу механічної системи в диференціальній формі і називається також основним рівнянням обертального руху. Векторне рівняння в проекціях на нерухомі вісі декартових координат еквівалентне трьом скалярним рівнянням , , . (13) З наведеної теореми випливають наступні наслідки: 1) внутрішні сили безпосередньо не впливають на зміну моменту імпульсу механічної системи (вони можуть здійснювати опосередкований вплив через зовнішні сили); 2) якщо головний момент зовнішніх сил відносно деякого нерухомого центру дорівнює нулю, то момент імпульсу механічної системи відносно того ж центра не змінюється. Дійсно, якщо , то з рівняння (12) матимемо = , (14) де – початкове значення вектора . Формула (3.14) є першим інтегралом рівняння руху системи і математичним записом закону збереження моменту імпульсу механічної системи; 3) якщо головний момент всіх зовнішніх сил не дорівнює нулю, але його момент відносно деякої вісі (наприклад, ) дорівнює нулю, то момент імпульсу механічної системи відносно цієї вісі не змінюється з часом. Дійсно з рівнянь (13) – (14) випливає, що коли, наприклад, , то , (15) тобто зберігається відповідний компонент моменту імпульсу механічної системи; 4) якщо момент зовнішніх сил відносно нерухомого центру не дорівнює нулю, то з рівняння (3.12) отримуємо . (16) Після інтегрування (3.16) в межах від початкового моменту часу до поточного , отримуємо , (17) де – момент імпульсу механічної системи на поточний час , а – в момент часу . Таким чином, зміна моменту імпульсу механічної системи відносно нерухомого центру за проміжок часу від до дорівнює інтегралу від головного моменту імпульсу зовнішніх сил по часу за той самий проміжок часу.
|