Методы и технологии моделирования

Вот какое определение понятия «математическое моделирование» предлагается в энциклопедическом словаре по информатике: «Математическое моделирование – это описание, воспроизведение, изучение и прогнозирование всевозможных процессов и явлений с помощью математических и вычислительных средств. Объект любой природы (физический, химический, биологический и т.д.), отображаемый с помощью математической модели, т.е. в терминах функций, уравнений, неравенств и других соотношений, может быть понят путем исследования и решения соответствующих математических задач.» И далее, «математическое моделирование позволяет имитировать в принципе невоспроизводимые или нежелательные ситуации, например, прогноз погоды, траекторию космического корабля, последствия ядерной войны».

По мере создания и совершенствования ЭВМ математическое моделирование все чаще использует мощнейшее техническое средство – компьютер.

Обсудим основные этапы численного моделирования (компьютерного эксперимента).

Общая схема процесса приведена на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1. Основные этапы компьютерного моделирования

Первый этап – определение целей моделирования. Основные из них таковы:

1) модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром;

2) модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях;

3) модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект.

Естественно, прежде чем формулировать цель исследования, необходимо всесторонне изучить структуру моделируемого объекта (процесса).

После этого переходят к формализации объекта (процесса), результатом которой и будет в нашем случае математическая модель.

Содержательное описание в словесной форме содержит:

· сведения о физической природе исследуемого процесса;

· сведения о количественных характеристиках элементарных явлений исследуемого процесса;

· сведения о месте и значении каждого элементарного явления в общем процессе функционирования рассматриваемой системы;

· постановку прикладной задачи, определяющую цели моделирования исследуемого процесса.

Содержательное описание процесса обычно самостоятельного значения не имеет, а служит лишь основой для дальнейшей формализации этого процесса – построения формализованной схемы и математической модели процесса.

Формализованная схема является промежуточным звеном между содержательным описанием и математической моделью и разрабатывается в тех случаях, когда из-за сложности исследуемого процесса переход от содержательного описания к математической модели оказывается невозможным. На этапе построения формализованной схемы должна быть дана точная математическая задачи исследования с указанием окончательного перечня искомых величин и оцениваемых зависимостей.

Прежде всего составляется список величин, от которых зависит поведение объекта или ход процесса, а также тех величин, которые желательно получить в результате моделирования. Обозначив первые (входные) величины через x₁, x₂, …, x_n; вторые (выходные) через y₁, y₂, …, y_k, можно поведение объекта или процесса символически представить в виде y_j = F_j(x₁, x₂, …, x_n) (j = 1, 2, …, k), где F_j символически обозначает некоторые математические операции над входными величинами.

Важнейшим этапом моделирования является разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием. Чаще всего невозможно, да и не нужно, учитывать все факторы, которые могут повлиять на значения интересующих нас величин y_j. От того, насколько умело выделены важнейшие факторы, зависит успех моделирования, быстрота и эффективность достижения цели. Отбрасывание (по крайней мере, при первом подходе) менее значимых факторов огрубляет объект моделирования и способствует пониманию его главных свойств и закономерностей.

На этапе перехода от формализованной схемы к математической модели необходимо перейти от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое наполнение. В этот момент модель предстает перед нами в виде уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциального уравнения или системы таких уравнений и т.д. Утверждается, что «для преобразования формализованной схемы в модель необходимо прежде всего, воспользовавшись соответствующими схемами, записать в аналитической форме все соотношения, выразить все логические условия. Последним этапом формализации является идентификация модели – определение параметров и структуры модели, обеспечивающей наилучшее совпадение исходных данных объекта и данных, полученных на модели объекта».

Можно считать, что модель адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса совпадают с экспериментальными с заданной степенью точности. Действительно, важнейшими требованиями к модели являются требования адекватности и простоты и оптимальности. Требование адекватности модели изучаемому объекту (процессу) относительно выбранной системы его характеристик предполагает:

· правильное качественное описание объекта по выбранным характеристикам;

· правильное количественное описание объекта по выбранным характеристикам.

Для достижения адекватности модели процессу необходимо осуществлять контроль:

· размерностей;

· порядков;

· характера зависимостей;

· экстремальных ситуаций;

· граничных условий;

· математической замкнутости.

Когда математическая модель сформулирована, и выполнена ее идентификация, выбирается метод исследования модели.

Разработка алгоритма и составление программы для ЭВМ – творческий и трудно формализуемый процесс. В настоящее время достаточно распространенным подходом к программированию остается структурный подход, основными приемами которого являются модульность, использование лишь базовых алгоритмических структур, разработка алгоритма «сверху вниз» с дальнейшей пошаговой детализацией. Другим, не менее (а может быть, более) популярным подходом является объектно-ориентированное программирование. Графический пользовательский интерфейс целесообразно реализовывать, используя визуальные возможности программирования. В последнее время такой подход нашел широкое распространение в связи с увеличением быстродействия ЭВМ, многие из которых работают под управлением графических операционных систем. Относительная простота изучения и «кнопочная» технология, когда создание интерфейса программы значительно ускоряется, делают эти средства привлекательными для создания демонстрационных программ. Для постановки научных численных экспериментов по-прежнему целесообразнее использовать более традиционные средства, т.к. здесь наиболее важной является скорость вычислений, а не оформление программы. В некоторых случаях расчеты удобно провести, используя готовые программные продукты, например, электронные таблицы или специальные математические пакеты.

После составления программы с ее помощью решается простейшая тестовая задача (желательно, с заранее известным ответом) с целью отладки и тестирования программы, устранения грубых ошибок. Затем следует собственно численный эксперимент.

В случае несоответствия модели реальному процессу происходит возврат к одному из предыдущих этапов. Возможные точки возврата указаны на схеме: либо в процессе огрубления были отброшены какие-то важные факторы или же было взято слишком много незначительных факторов и требуется уточнить математическую модель; либо выбор метода исследования оказался не слишком удачным и нужно использовать более сложный и точный. После внесения тех или иных изменений вновь проходим по части технологической цепочки и делаем это до тех пор, пока не будут получены приемлемые результаты.

По окончанию компьютерного эксперимента с математической моделью накопленные результаты (чаще всего численные) обрабатываются тем или иным способом (опять же с помощью компьютера) и интерпретируются. Чаще удобной для восприятия формой представления результатов являются не таблицы значений, а графики, диаграммы. Иногда численные значения пытаются заменить аналитически заданной функцией, вид которой определяет экспериментатор. Обработанные данные в конечном итоге попадают в отчет (или научную статью) о проделанном эксперименте.