Задача 4.5

По данным об инвестициях в основной капитал произвести аналитическое выравнивание ряда динамики на основе функции прямой и параболы второго порядка. Выбрать уравнение, наиболее точно описывающее динамику показателя.

Таблица 4.7

Инвестиции в основной капитал в январе-сентябре 1998 г., млрд руб.*

Решение. Произведем выравнивание исходных данных по уравнению прямой. Для расчета параметров уравнения прямой и выровненных значений уровней ряда построим табл. 4.8.

Таблица 4.8

yi	ti	tiyi
1	2	3	4	5	6
22,1		22,1		19,06+2,03·1=21,09	(21,09-22,1)2=1,020
23,7		47,4		19,06+2,03·2=23,12	(23,12-23,7)2=0,336
26,1		78,3		19,06+2,03·3=25,15	(25,15-26,1)2=0,902
25,5		102,0		27,18	2,822
26,6		133,0		29,21	6,812
31,8		190,8		31,24	0,314
32,9		230,3		33,27	0,137
35,4		283,2		35,30	0,01
38,8		349,2		37,33	2,161
Σ=262,9	Σ=45	Σ=1436,3	Σ=285	Σ=262,89	Σ=14,514

Расчеты параметров а_о и а₁ произведем по формулам (4.12) и (4.14):

Следовательно, уравнение прямой имеет вид:

Подставляя значения t_i из табл. 4.8 (гр. 2) в уравнение прямой, рассчитаем теоретические (выровненные) значения уровней ряда, которые записываем в гр. 5 табл. 4.8. Правильность расчетов теоретических значений проверяется при помощи следующего равенства:

.

В нашем примере Следовательно, расчеты сделаны правильно.

В графе 6 табл. 4.8 определяются квадраты отклонения выровненных значений от реальных значений у_i, на основе которых находят стандартизированную ошибку аппроксимации для уравнения прямой (формула (4.28).

Для выравнивания ряда по уравнению параболы второго порядка воспользуемся более простым способом расчетов - от условного нуля. Для проведения расчетов составляем табл. 4.9.

Таблица 4.9

yi	ti						tiyi
1	2	3	4	5	6	7	8
22,1	-4		353,6		28,2+2,03(-4)+ +0,15·16=22,5	(22,5-22,1)2=0,16	-88,4
23,7	-3		213,3		28,2+2,03(-3)+ +0,15·9=23,4	(23,4-23,7)2=0,009	-71,1
26,1	-2		104,4		28,2+2,03(-2)+ +0,15·4=24,7	(24,7-26,1)2=1,96	-52,2
25,5	-1		25,5		26,3	0,64	-25,5
26,6					28,2	2,56
31,8			31,8		30,4	1,96	31,8
32,9			131,6		32,8	0,01	65,8
35,4			318,6		35,6	0,04	106,2
38,8			620,8		38,7	0,01	155,2
Σ=262,9	Σ=0	Σ=60	Σ=1799,6	Σ=708	Σ=262,6	Σ=7,43	Σ=121,8

Рассчитаем параметры уравнения а_о, а₁, а₂ по формулам (4.16), (4.17), (4.18).

Уравнение параболы второго порядка в данном примере:

Подставляя значения t_i в данное уравнение, рассчитаем теоретические уровни (гр. 6 табл. 4.9). Сравнивая суммарные теоретические и реальные уровни ряда (итог гр. 1 и итог гр. 6 табл. 4.9), судим о правильности расчетов теоретических уровней.

Для расчета стандартизованной ошибки аппроксимации суммируем возведенные в квадрат отклонения теоретических и реальных уровней (гр. 7 табл. 4.9). ошибка аппроксимации равна:

Чтобы выбрать наиболее подходящее уравнение, сравним стандартизованные ошибки аппроксимации для уравнения прямой и уравнения параболы. В первом случае ошибка равна 1,27 млрд руб., во втором - 0,91 млрд руб. таким образом, наиболее точно анализируемый ряд динамики описывается уравнением параболы второго порядка.

* Вопросы статистики. - 1999. - № 2, с. 84.

* Вопросы статистики. - 1999. - № 2, с. 77.

* Вопросы статистики. - 1999. - № 2, с.80.