О приближенных вычислениях

Числовые значения величин, с которыми приходится иметь дело при решении задач, являются большей частью приближенными.

Такими величинами являются, в частности, многие константы, приводимые в справочнике. Например: нормальное ускорение свобод­ного падения g = 9,81 м/с², отношение длины окружности к диамет­ру p = 3,14, масса электрона m = 9,1×10^-31 кг и т.п. При более точном вычислении или измерении числовые значения этих величин будут содержать большее число значащих цифр g = 9,80655 м/с², p = 3,1416, т = 9,106×10^-31 кг. Однако и эти значения, в свою очередь, являются приближенными или в силу недостаточной точности измерения или в силу того, что получены путем округления еще бо­лее точных значений.

Часто неопытные лица добиваются при вычислениях получения такой точности результатов, которая совершенно не оправдывается точностью использованных данных. Это приводит к бесполезной зат­рате труда и времени.

Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется определить плотность r вещества некоторого тела. При взвешивании тела на весах с точностью до 0,01 г определили массу тела:

т = (9,38 ± 0,010) г.

Затем с точностью до 0,01 см³ был измерен объем тела:

V = (3,46 ± 0,01) см³.

Без критического подхода к вычислениям можно получить такой ре­зультат:

r = m/V = 9,38/3,46 г/см³ = 2,71098 г/см³.

Но числа 9,38 и 3,46 - приближенные. Последние цифры в этих числах сомнительные. Эти числа при измерении могли быть получе­ны такими: первое - 9,39 или 9,37, второе - 3,45 или 3,47. В са­мом деле, при взвешивании с указанной выше точностью могла быть допущена ошибка на 0,01 как в сторону увеличения массы, так и в сторону ее уменьшения. То же самое и в отношении объема. Таким образом, плотность тела, если ее вычислять с точностью до пятого десятичного знака, как это сделано выше, могла оказать­ся:

r = 9,39/3,45 = 2,7214 г/см³ или r = 9,37/3,47 = 2,70029 г/см³.

Сравнение всех трех результатов показывает, что они отлича­ются уже вторыми десятичными знаками и что достоверным является лишь первый десятичный знак, а второй - сомнительным. Цифры, выра­жающие остальные десятичные знаки, совершенно случайны и способ­ны лишь ввести в заблуждение пользователя вычисленными результата­ми. Следовательно, работа по вычислению большинства знаков затра­чена впустую. Во избежание бесполезных затрат труда и времени принято вычислять кроме достоверных знаков еще только один сом­нительный.

В рассмотренном примере надо было вести вычисление до второ­го десятичного знака:

r = m/V = 9,38/3,46 г/см³ = 2,71 г/см³.

Приближенные вычисления следует вести с соблюдением следу­ющихправил.

1. При сложении и вычитании приближенных чисел окончатель­ный результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из слагаемых.

Например, при сложении чисел 4,462 + 2,38 + 1,17273 + 1,0262 = 9,04093 следует сумму округлить до сотых долей, т.е. принять ее равной 9,04, так как слагаемое 2,38 задано с точ­ностью до сотых долей.

2. При умножении следует округлить сомножители так, чтобы каждый из них содержал столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с наименьшим числом таких цифр. Например, вместо вычисления выражения 3,723 × 2,4 × 5,1846, следует вычислять выраже­ние 3,7 × 2,4 × 5,2.

В окончательном результате следует оставлять такое же ко­личество значащих цифр, какое имеется в сомножителях после их округления. В промежуточных результатах следует сохранять на одну значащую цифру больше. Такое же правило следует соблюдать и при делении приближенных чисел.

3. При возведении в квадрат или куб следует в степени брать столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени. Например,I,32² » 1,74.

4. При извлечении квадратного или кубического корня в ре­зультате следует брать столько значащих цифр, сколько их в под­коренном выражении. Например, 1,17^1/2 » 1,08.

При вычислении сложных выражений следует применять ука­занные правила в соответствии с видом производимых действий. Например,

(3,2 + I7,062) × 3,7^1/2 / (5,1 × 2,007 × 10³).

Сомножитель 5,1 имеет наименьшее число значащих цифр - два. Поэтому результаты всех промежуточных вычислений должны округ­ляться до трех значащих цифр:

(3,2 + I7,062) × 3,7^1/2 /(5,1 × 2,007 × 10³)» 20,3 × 1,92/(10,3 × 10³)»

»39,0/(10,3 × 10³)» 3,79 × 10³.

После округления до двух значащих цифр получаем результат 3,8 × 10^-3.

4. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ