Примеры вычисления силовых функций однородного поля силы тяжести и линейной силы упругости

Однородное поле силы тяжести

Рассмотрим материальную точку массой m, находящуюся в однородном поле силы тяжести. Направим ось Oz вертикально вверх, а оси Ox и Oy произвольно в горизонтальной плоскости.

Проекции силы тяжести на оси координат будут равны

Элементарная работа силы тяжести

Так как элементарная работа силы тяжести является полным дифференциалом и , то, интегрируя, находим

(I)

Где А – работа силы тяжести материальной точки массой m на перемещении . (I) можно представить в виде

Где - высота подъема точки.

Если точка расположена выше , т.е. опускается, то работа положительная, иначе – отрицательная.

Поле линейной силы упругости.

Лиин. сила упр. подчиняется закону Гука

Элементарная работа этой силы:

так как . Интегрируем

Таким образом, силовая функция и потенциальная энергия линейной силы упругости является квадратичной формой координат точки М, отсчитываемых от положения равновесия.

Работа силы упругости не зависит от траектории. При перемещении точки из положения равновесия работа силы упругости отрицательна

Поверхностями уровня линейной упругой силы будут концентрические сферы с центром в начале координат, а силовыми линиями – прямые, проходящие через начало координат, т.к. из

следует

25. Закон сохранения полной механической энергии системы.

Если все силы, действующие на систему, потенциальны, то при движении системы её полная механическая энергия постоянна

Пусть все силы, действующие на механическую систему, потенциальны, т.е. существует функция , такая, что

(I)

где - равнодействующая всех сил, приложенных к k -й точке.

Теорема об изм. кин. эн. в дифф. форме:

где . Согласно (I)

Таким образом

Или

Где - потенциальная энергия системы, следовательно,

отсюда

и

Сумма кинетической и потенциальной энергии называется полной энергией Е механической системы.

Системы, для которых выполняется закон сохранения механической энергии, называются консервативными.

26. Принцип Даламбера для точки и системы материальных точек.

При движении материальной точки в любой момент времени приложенные к ней активные силы и реакции связей вместе с силой инерции образуют систему сил, эквивалентную нулю (уравновешенную систему сил)

В соответствии с аксиомами статики основное уравнение движения материальной точки имеет вид

- равнодействующая активных сил, - равнодействующая реакций связей.

Запишем уравнение в виде

Слагаемое обозначают и называют даламберовой силой инерции (или просто силой инерции).

При движении механической системы в любой момент времени приложенные силы и реакции связей вместе с силами инерции образуют систему сил, эквивалентную нулю.

(I)

Суммируя левые части по всем точкам

Умножив каждое уравнение векторно слева на радиус-вектор k -й точки и просуммировав их, имеем:

или

Если силы, приложенные к k -й точке системы, разложить на внешнюю и внутреннюю, а не на активные и реакции связей, то

Так как главный вектор и главный момент относительно произвольного центра приведения внутренних сил системы равен нулю, то

27. Главный вектор и главный момент сил инерции в общем и частном случаях движения твёрдого тела.

При любом движении механической системы главный вектор сил инерции равен взятому со знаком «минус» произведению массы системы

В соответствии с определением главного вектора

Так как ускорение точки , а её масса

Главный момент сил инерции относительно центра приведения О равен взятой со знаком «минус» производной по времени от главного момента количеств движения механической системы относительно того же центра.

Так как

Если движение точек мех. системы рассматривать как сложное, т.е. , то

Где - главный момент количеств движения системы в её относительном движении по отношению к системе координат, движущейся вместе с центром масс. В этом случае главный момент сил инерции относительно неподвижного центра приведения О

Главный момент сил инерции относительно центра масс С

При приведении сил инерции точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, к произвольному центру О, расположенному на этой оси, в центре О в общем случае должны быть приложены главный вектор и главный момент сил инерции.

28. Связи и их классификация.

Механическая система, точки которой могут занимать любое положения в пространстве и иметь любые скорости, называется свободной.

Если на координаты и скорости точек системы наложены ограничения, то система называется несвободной, а ограничениями называются связями.

Аналитически связь описывается уравнением вида

Ограничивая движения механической системы, связи действуют на её точки посредством сил, которые называются реакциями связей.

При изучении равновесия и движения механических систем методами аналитической механики применяется принцип освобождения (аксиома о связях)

Связи называются голономными, если они описываются уравнениями вида

(I)

Такие связи накладывают ограничения на координаты точек, а значит, на положение системы в пространстве.

Неголономными называются связи, которые описываются уравнениями вида

(II)

Уравнения (I), в отличие от уравнений голономных связей, не могут быть проинтегрированы независимо от дифференциальных уравнений движения системы. Неголономные связи накладывают ограничения на скорости точек, поэтому их называют кинематическими.

Связи подразделяют на стационарные и нестационарные в зависимости от того, входит в явном виде время в уравнение связи или нет.

Связь, уравнение которой имеет вид , является голономной и стационарной. Для голономной нестационарной связи уравнение будет таким

Связь называется удерживающей (двухсторонней), если она описывается уравнением (равенством).

Неудерживающая (односторонняя) связь описывается неравенством.

29. Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи. Примеры.

Возможной работой силы называется работа силы на любом возможном перемещении точки её приложения

Для вычисления возможной работы можно применять известные формулы для элементарной работы силы, подставляя вместо элементарного действительного возможное перемещение точки.

Если к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси Oz приложена сила , момент которой относительно оси равен

Связи называются идеальными, если равна нулю сумма элементарных работ реакций этих связей на любом возможном перемещении системы (из занимаемого в данный момент времен положения)

Для идеальных связей

или

Примеры.

- Гладкая поверхность (плоскость) для материально точки

так как вектор расположен вдоль нормали к поверхности и, следовательно, ортогонален вектору возможного перемещения точки.

- Нерастяжимая нить. Реакция нити – сила её натяжения – ортогональна возможному перемещению точки её приложения, поэтому

- Цилиндрические и сферические шарниры, если поверхности соприкасающихся тел считаются идеально гладкими. Если твёрдое тело при помощи шарнира прикреплено к неподвижной опоре, то реакция приложена к неподвижной точке. Возможное перемещение такой точки равно нулю и

Если два твёрдых тела при помощи шарнира с идеально гладкими поверхностями соединены между собой, то

Так как

- Твёрдая шероховатая поверхность для цилиндрического катка при качении без скольжения. Контакт катка с поверхностью происходит по линии. Поэтому реакцией связи является система сил, распределенных вдоль линии контакта. Возможная работа реакции равна нулю, так как они приложены к неподвижным в каждый момент времени точкам – МЦС сечений катка.

30. Принцип возможных перемещений.

Чтобы данное положение механической системы со стационарными идеальными связями было положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ активных сил на любом возможном перемещении системы из этого положения была равна нулю.

Положением равновесия называется такое положение механической системы, в котором она может находится сколь угодно долго, если в начальный момент времени система была приведена в это положение с нулевыми скоростями.

Необходимость.

Пусть мех. система из N материальных точек находится в равновесии. Тогда приложенные к каждой точке активные силы и реакции связей уравновешены, т.е.

Умножив каждое равенство на возможное перемещение соответствующей k -й точки и просуммировав скалярное произведение

Если наложенные на систему связи идеальные, то и условие является необходимым условием равновесия системы.

Достаточность.

Предположим, что , а система не находится в равновесии. Значит под действием активных сил и реакций связей система за малый промежуток времени совершит некоторое действительное перемещение. При стационарных связях это действительное перемещение совпадает с одним из возможных, поэтому

Так как связи идеальные, то и тогда , что противоречит принятому выше предположению.

31. Общее уравнение динамики (механики)