Работа сил, приложенных к твёрдому телу при его различных движениях

Работа силы при поступательном движении твёрдого тела.

При поступательном движении твёрдого тела векторы скоростей, а также элементарные перемещения всех точек тела одинаковы. Тогда элементарная работы силы

Полная работа силы на каком-либо перемещении

Работа силы при вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

Элементарная работа силы, приложенной к какой-либо точке тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента этой силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота тела

Полная работа:

Работы составляющих силы по нормали и бинормали равны нулю, так как они направлены всегда перпендикулярно к вектору скорости точки М приложения силы. Следовательно, элементарная работа силы совершается только её составляющей по касательной к траектории, т.е.

Поскольку , то

Где h – кратчайшее расстояние от точки приложения силы до оси вращения.

Учитывая, что -момент силы относительно оси Oz, получаем

Работа силы в общем случае движения свободного твёрдого тела

Элементарная работа силы, приложенной в какой-либо точке твёрдого тела, в общем случае его движения равна сумме элементарных работ на элементарном поступательном перемещении вместе с полюсом и элементарном вращательном перемещении вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс.

Скорость точки М приложения сила в рассматриваемом случае

Где - скорость полюса А; . Тогда

Так как

то

или

где - проекция на вектор ; -элементарный угол поворота тела вокруг мгновенной оси относительного вращения.

19. Кинетическая энергия точки и системы материальных точек. Теорема Кенига.

Кинетическую энергию материальной точки массой m, движущейся с абсолютной скоростью , определяют по формуле

где

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех точек этой системы

Теорема Кенига.

Кинетическая энергия механической системы в её абсолютном движении равна сумме кинетической энергии центра масс, в предположении, что в нём сосредоточена масса всей системы, и кинетической энергии движения системы относительно центра масс.

Рассмотрим движение механической системы в неподвижной системе отсчета Oxyz. В качестве подвижной выберем систему CXYZ с началом в центре масс, движущуюся поступательно вместе с центром масс. Абсолютное движение механической системы при этом можно рассматривать как совокупность переносного (вместе с ЦМ) и относительного (по отношению к ЦМ) движений системы.

Для любого момента времени положение произвольной точки по отношению к неподвижному центру О

где - радиус-вектор точки по отношению к ЦМ. Продифференцируем и найдем абсолютную скорость:

Учитывая, что квадрат вектора равен квадрату его модуля,

Здесь

поскольку сумма статических моментов масс точек относительно центра масс

Таким образом

где - масса механической системы.

20. Кинетическая энергия твёрдого тела в различных случаях его движения.

При поступательном движении твёрдого тела скорости всех его точек одинаковы и равны скорости центра масс, поэтому

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси скорость его произвольной точки

- кратчайшее расскояние от точки

Тогда

При плоском движении твёрдого тела относительная скорость произвольной точки и, следовательно, согласно формуле Кенига

При сферическом движении твёрдого тела скорость произвольной точки определяется формулой Эйлера

преобразуем формулу

С учетом

кинетическую энергию твёрдого тела при сферическом движении можно записать

Если оси Oxyz направить по главным осям инерции тела для точки О, то

В общем случае движения свободного твёрдого тела в пространстве, которое можно рассматривать как совокупность поступательного переносного движения вместе с центром масс и сф. движения по отношению к этому центру, относительная скорость произвольной точки тела и, следовательно, кинетическая энергия тела

21. Теорема об изменении кинетической энергии для точки и системы материальных точек.

В дифф. форме:

Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.

В интегральной форме:

Изменение кинетической энергии точки на любом перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении.

Движение точки массой m под действием силы определяется уравнением

или

Умножив обе части уравнения скалярно на , после преобразований

получим

Разделив обе части уравнения на dt, получим ещё одну запись теоремы об изменении кинетической энергии точки

Интегрируя обе части по криволинейной траектории имеем

Теорема об изменении кинетической энергии для механической системы.

Дифф. форма:

Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Первая производная по времени от кинетической энергии системы равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, действующих на точки системы

В интегральной форме

Изменение кинетической энергии системы при её перемещении из одного положения в другое равно суме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на соответствующих перемещениях точек приложения этих сил.

Для механической системы, на которую действуют как внешние, так и внутренние силы, уравнение можно представить в виде

(I)

Суммируя левые и правые части этих уравнений по всем точкам системы и вынося знак дифференциала за знак суммы, получаем

Разделим обе части уравнения на dt

Проинтегрируем каждое уравнение (I) по соответствующей ему криволинейной траектории. Просуммировав полученные выражения по все точкам системы, получим

22. Потенциальное силовое поле. Силовая функция и потенциальная энергия поля.

Силовым полем называется часть пространства, в котором на материальную точку действует сила, зависящая от координат точки и времени

Если сила явно не зависит от времени, то силовое поле называется стационарным.

Стационарное силовое поле называется потенциальным, если проекции силы на оси Ох, Оу, Oz можно выразить через скалярную функцию по формулам

(I)

т.е.

Функция называется силовой функцией. Из (I) следует, что силовая ф-я U определяется с точностью до аддитивной постоянной.

Потенциальной энергией материальной точки в данной точке потенциального силового поля называют работу, производимую силой, действующей на точку в потенциальном силовом поле, при её перемещении из рассматриваемой точки поля в начальную ., условно принимаемую за нулевую

23. Поверхности уровня и их свойства.

Поверхность

на которой силовая функция U имеет постоянное значение, называется эквипотенциальной поверхностью или поверхностью уровня.

1. Если начальная и конечная точки расположены на одной и той же поверхности уровня, то работа силы стационарного потенциального по перемещению материальной точки из начального положения в конечное равна нулю.

т.к.

2. Сила потенциального поля направлена по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания силовой функции U.