Деформации

ЛинейныеУгловые

АбсолютныеОтносительные

ε_x, ε_y, ε_z g_x, g_y, g_z

Абсолютная линейная деформация – разность между конечной и начальной длиной стержня.

Dl = l_к - l_н

Относительная линейная деформация – безразмерная величина, равная отношению абсолютной линейной деформации к первоначальной длине стержня.

Абсолютная угловая деформация (абсолютный сдвиг) возникает при смещении двух параллельных плоскостей друг относительно друга при действии поперечных сил.

Относительная угловая деформация (относительный сдвиг) – отношение DS к a (расстояние между сдвигаемыми плоскостями)

Деформированное состояние точки тела полностью определяется шестью компонентами деформации: ε_x, ε_y, ε_z, g_xy, g_yz, g_zx.

Перемещения являются абсолютными величинами, выраженные в единицу длины или в радианах, а деформации – относительные величины, выраженные в % или безразмерные.

§6. Центральное растяжение-сжатие. Закон Гука.

Центральным растяжением-сжатием называют такой вид деформации бруса, при котором в его поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор, отличный от нуля, - нормальная (продольная) сила N, приложенная к центру тяжести поперечного сечения бруса.

Если N действует от сечения, то она вызывает растяжение и считается положительной.

Если N действует к сечению, то вызывает укорочение бруса (сжатие) и считается отрицательной

Брусья, в основном работающие на растяжение-сжатие называются стержнями.

ε = Dl/l - продольная деформация

ε¢ = ε_x = Da/a = ε_y = Db/b – поперечная деформация.

Опытным путём доказано, что при центральном растяжении-сжатии отношение поперечной деформации к продольной – величина постоянная для данного материала, и её абсолютное значение называется коэффициентом Пуассона.

Коэффициент Пуассона – справочная величина. 0£ m £0,5

m_пробки = 0

m_стали = 0,29 – 0,33

m_чугуна = 0,23 – 0,27

m_меди = 0,31 – 0,33

m_{каучука} = 0,47

Для большинства материалов, с достаточной точностью можно сказать, что:

в упругой области нагружения существует прямо пропорциональная зависимость между относительной линейной деформацией и нормальным напряжением, называющаяся законом Гука:

s = Eε,

s - нормальное напряжение

E - модуль упругости первого рода (модуль Юнга), [Н/м²], [Па]

ε – относительная линейная деформация

E = tga

E*F – жёсткость при растяжении-сжатии.

- формула Гука

Определить удлинение стержня

d -?

(Dl -?)

0£ z £ l 0£ z £ l

N(z)=ql N(z)=ql-qz¢

N(0)=0 N(0)=ql

N(l)=ql N(l)=0

Если стержень состоит из n различных участков, то определяется:

Потенциальная энергия упругой деформации при растяжении-сжатии

s = Eε – закон Гука

EF – жёсткость при растяжении-сжатии;

F – площадь;

E – модуль Юнга.

dU – потенциальная энергия упругой деформации

§7. Статически неопределимые системы

Статически неопределимыми называются системы, в которых внутренние силовые факторы не могут быть определены из основных уравнений равновесия (число неизвестных больше числа уравнений статики).

Степень статической неопределимости – разность между числом неизвестных (в опорах или заделках) и число уравнений равновесия.

Для раскрытия статической неопределимости составляют дополнительные уравнения перемещения (совместности деформации), их число равно степени статической неопределимости системы.

H_B=0, H_A=0;

M_A=0, M_B=0

R_A=2P/3, R_B=-P/3

1. Статическая сторона задачи:

Основное уравнение равновесия (уравнение статики)

SFi(z) = -R_A + P + R_B =0

2 неизвестных -1 уравнение равновесия = система 1 раз статически неопределима

2. Геометрическая сторона задачи:

Дополнительное уравнение равновесия (уравнение совместности деформации)

3. Физическая сторона задачи:

Dl₁ + Dl₂ =0

Температурные напряжения

R_T – температурные реакции, возникающие в заделках

a - температурный коэффициент линейного расширения материала, [1/⁰C]

При нагревании температурные реакции отрицательные, при охлаждении – положительные.

Монтажные (начальные) напряжения.

Напряжения, возникающие вследствие неточности изготовления отдельных элементов конструкции, называются монтажными напряжениями.

Стержень 2 короче проектной длины на величину d.

В результате стяжки всех трёх стержней в точку О, стержни 1 и 3 укоротятся, а стержень 2 – растянется.

1. Основные уравнения равновесия:

3 неизвестных – 2 основных уравнения равновесия = 1 раз статически неопределимая система.

2. Дополнительное уравнение перемещения

Проверка:

Стержни, имеющие наклон к вертикали в точке крепления, деформируются меньше.

§8. Механические свойства материала.

Основными механическими характеристиками материала являются: прочность, упругость и твёрдость.

Прочность – способность материалов воспринимать, внешние механические воздействия, не разрушаясь.

Пластичность – способность материалов давать значительные остаточные деформации, не разрушаясь.

Упругость – способность материалов восстанавливать первоначальную форму и размеры после снятия нагрузки и температуры.

Твёрдость – способность материалов сопротивляться проникновению в него другого тела, практически не получающего остаточные деформации.

Механические характеристики материала необходимы для инженерных расчётов и определяются экспериментально путём испытаниё стандартных образцов на растяжение, сжатие, кручение, изгиб, срез, смятие и т.д.

- первоначальная длина рабочей части образца

- первоначальный диаметр образца.

При растяжении испытательная машина фиксирует величину растягивающего усилия P, и величину абсолютного удлинения

s_пц. – предел пропорциональности. Наибольшее напряжение, для которого выполняется закон Гука.

s_упр. – предел упругости

s_т. – предел текучести

s_в. – предел прочности (временное сопротивление)

s_р. – напряжение в момент разрыва

ОА – участок прямой пропорциональность между s и ε (область действия закона Гука).

АВ – деформации не подчиняются линейному закону, но обратимы.

CD – площадка текучести. При постоянном значении силы происходит заметный рост деформации – материал течёт.

DЕ – зона упрочнения (пологий криволинейный участок).

ε = ε_упр. + ε_ост. – полная деформация образца.

Прямая KL׀‌‌‌׀‌‌OA

Петля KLK – петля гистерезиса.

Если провести полную разгрузку, а затем заново нагрузить образец, то он покажет более высокие значения s_пц., s_т., s_в. Явление разгрузки, а потом нагрузки называется наклёпом (нагартовка). Явление наклёпа используется для повышения прочностных характеристик материала, например при изготовлении цепей грузоподъёмных машин. Если наклёп не желателен, его устраняют отжигом.

Е – временное сопротивление – наибольшее напряжение, которое может выдержать образец до разрушения.

EF – зона местной текучести, образование шейки. При образовании шейки площадь поперечного сечения образца резко уменьшается, при этом заметно падает сила Р (доказано экспериментально).

Сплошная линия – условная диаграмма растяжения.

Пунктирная линия – истинная.

Характеристики прочности материала: предел текучести и предел прочности

Характеристики пластичности:

d - относительное удлинение после разрыва

ψ – относительное сужение после разрыва

.

Многие материалы не имеют ярко выраженной площадки текучести

1 – кривая растяжения бронзы;

2 – кривая растяжения малоуглеродистой стали;

3 – кривая растяжения никелевой стали;

4 – кривая растяжения марганцовой стали.

s_0,2 – условный предел текучести, определяется для материалов не имеющих ярко выраженной площадки текучести. Соответствующие напряжения, при которых остаточные деформации составляют 0,2% от первоначальной длины образца.

Технический предел текучести – ГОСТ 1497-84.

Хрупкость – понятие обратное пластичности – способность материала разрушаться без образования заметных (остаточных) деформаций.

Хрупкие материалы: бетон, чугун, стекло, природный камень и т. д.

Пластичные материалы испытывают на растяжение, хрупкие – на сжатие. При испытании на сжатие хрупкие материалы разрушаются без образования площадки текучести.

Разрушение чугунного образца происходит под углом 45⁰ к его оси.

Стальной образец принимает бочкообразную форму и сплющивается.

Определение твёрдости материала является косвенным методом определения предела прочности.

Для определения твёрдости материала в него с некоторой силой вдавливается другое тело – индентор, и по полученному отпечатку судят о твёрдости материала.

1. Твёрдость по Бринеллю (НВ).

Индентор – закалённый стальной шар.

D – диаметр шарика

d – диаметр отпечатка.

1. Твёрдость по Виккерсу (HV).

Вдавливается алмазная пирамида с углом 136⁰ между гранями.

F – площадь отпечатка от вдавливания

g = 136/2 = 68⁰

b – полу сумма диагоналей отпечатка

P = 50 – 1200 Н

1. Твёрдость по Роквеллу (HRC).

Вдавливается алмазный конус с углом 120⁰ при вершине.

Р = 1000 Н.

Второй и третий способы применяются, когда твёрдость по Бринеллю больше 4000 МПа.