Глава 5. Геометрические характеристики плоских сечений

Сопротивляемость деформированию элемента конструкции характеризуется геометрическими характеристиками поперечных сечений. Так, например, при растяжении или сжатии бруса такой характеристикой является площадь поперечного сечения, при кручении бруса круглого сечения более сложные геометрические характеристики - полярный момент инерции и момент сопротивления кручению. Для решения задач в курсе сопротивления материалов плоское поперечное сечение характеризуются площадью, статическими моментами и моментами инерции.

1. Статические моменты плоских сечений

Статическим моментом поперечного сечения бруса относительно координатной оси называют произведение площади сечения F на расстояние от его центра до рассматриваемой оси z_c или у_c:

S_z = F ´ y_c, S_y = F ´ z_c (1)

В случае, когда координаты центра тяжести и площадь сечения неизвестны, статические моменты определяют интегральными отношениями. Рассмотрим поперечное сечение произвольной формы в прямоугольной системе координат «z-у» (рис. 5.1).

В окрестности точки A с координатами z и у на поперечном сечении выделим элементарный участок dF и рассмотрим два следующих интеграла:

, (2)

Рисунок. 5.1

Первый интеграл называется статическим моментом сечения относительно оси z, а второй - статическим моментом сечения относительно оси y. Приравняв правые части соотношений (1) и (2), получим формулы для определения координат центра тяжести сечения:

, .

Если провести центральную ось, т.е. ось проходящую через центр тяжести сечения, то статический момент сечения, относительно такой оси, равен нулю в силу того, что в этом случае расстояние от центра тяжести до оси равно нулю.

Рассмотрим составное сечение площадью F, которое состоит из n частей, площадью F₁, F₂,....F_n.

Статический момент, например, относительно оси z можно записать в виде:

Если, предположить, что составное сечение разбито на простейшие фигуры с известными координатами центра тяжести y_c1, y_c2,...y_cn и площадями F₁, F₂... F_n, тогда:

S_z = S_z1 + S_z2 +...+S_zn = y_c1 ´ F₁ + y_c2 ´ F₂ +...y_cn ´ F_n.

Учитывая, что S_z = y ´ F тогда координата центра тяжести составного сечения определяется соотношением:

,

Пример. 5.1

Определить центр тяжести самолета приведенного на рисунке 5.2.

Рисунок 5.2

Распределение весов отдельных его частей и их координаты приведены в таблице 5.1.

Таблица 5.1

Решение.

Предположим, что вес агрегата создается объемом из плоской фигуры площадью F единичной толщины и удельным весом γ:

G = F ´1´ γ, откуда

F = G / γ

Тогда самолет можно представить как набор плоских фигур площадью F_i и координатами центров тяжести x_ci и y_ci, которые совпадают с координатами центров тяжести агрегатов.

В этом случае, для определения координат центра тяжести можно воспользоваться формулами для определения координат центра тяжести составной фигуры, которые приобретают вид:

, .

Вычисления приведены в таблице 5.1.

Координаты центра тяжести самолета равны:

, .

2. Осевые, центробежный и полярный моменты инерции плоских сечений

В прямоугольной системе координат рассматривают осевые и центробежные моменты инерции. Осевым моментом инерции плоского сечения относительно относительно координатной оси называют интеграл по всей площади сечения от произведения площади элементарной площадки dF на квадрат расстояния до рассматриваемой оси z или y:

,

Центробежным моментом инерции плоского сечения называют интеграл по всей площади сечения от произведения площади элементарной площадки dF на расстояния до двух взаимно перпендикулярных осей z и у:

В полярной системе координат, определяют полярный момент инерции, который выражается интегралом вида:

Рисунок 5.3

Рассматривая рисунок 5.3 можно заметить:

ρ² = z² + y²

Подставим это выражение в I_p:

Таким образом, сумма осевых моментов инерции плоского сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки пересечения осей.

3. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей

Определим, как изменяется моменты инерции сечения, относительно оси параллельной центральной. Зададимся моментами инерции сечения относительно центральных осей z_c и у_c, проходящими через центр тяжести сечения I_zc, I_yc, I_yczc.

Проведем оси z и y параллельно центральным z_c и y_c на расстоянии y_c и z_c (рис. 5.4) и запишем выражение осевого момента инерции относительно оси z:

По определению, ,

Так как ось z_c - центральная, то S_zc = 0.

Рисунок 5.4

Окончательно получим:

I_z= I_zc + y_c² ´F, аналогично:

I_y= I_yc + z_c² ´F, I_zy= I_zcyc + z_c ´ y_c ´F

4. Изменение моментов инерции при повороте осей координат

Предположим, что для поперечного сечения произвольной формы известны моменты инерции относительно осей z, y прямоугольной системы координат (не обязательно центральной) I_z, I_y, I_zy. Определим моменты инерции I_u, I_v, I_uv относительно осей u и v прямоугольной системы координат повернутой относительно исходной на угол α (рис. 5.5).

Рисунок 5.5

Из рисунка можно заметить, что координаты u и v связаны с координатами z и y соотношениями:

u = z ´ cos α+ y ´ sin α

v = y ´ cos α - z ´ sin α

Моменты инерции относительно осей u и v:

Аналогично, получим:

Учитывая, что:

,

полученные зависимости I_u, I_v, I_uv можно преобразовать к виду:

5. Главные оси и главные моменты инерции. Круг инерции Мора

Сложим, правые и левые части первых двух соотношений I_u и I_v, получим:

I_u + I_v = I_z + I_y

Это соотношение носит название инварианта момента инерции. Из него следует, что сумма осевых моментов инерции относительно любых двух взаимно ортогональных осей величина постоянная. Поэтому существует такое α, при котором один осевой момент достигает максимального значения, а другой осевой момент инерции относительно оси перпендикулярной первой оси принимает минимальное значение. Для определения этого значения α продифференцируем выражение I_u по α и приравняем производную нулю:

, откуда:

Приравняв нулю выражение I_uv,

получим:

Таким образом, существует один и тот же угол поворота осей координат α, относительно которых осевые центробежные моменты инерции I_u и I_v достигают экстремальных значений, а центробежный момент I_uv равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю называют главными осями. Главные оси с началом координат, совпадающим с центром тяжести сечения, называют главными центральными осями.

Осевые моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инерции.

Для определения главных моментов инерции, подставим в I_u и I_v выражения:

Окончательно, главные моменты инерции, которые принято обозначать I₁ и I₂:

Полученные выражения I₁ и I₂ удобно представить в графическом виде кругом инерции Мора (рис.5.6).

Рисунок 5.6

Отметим очень важное свойство. Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось является главной осью. Это вызвано тем, что относительно оси симметрии центробежный момент инерции равен нулю, так как центробежный момент инерции части сечения, расположенный по одну сторону от оси инерции, равен моменту части расположенной по другую сторону, но противоположен по знаку.

6. Моменты инерции простейших фигур

Распространенными формами поперечных сечений бруса являются простейшие фигуры (прямоугольник, треугольник, круг, кольцо и т.д.) или их комбинации.

Для удобства проведения расчетов выведем формулы, по которым можно определить их моменты инерции.

Прямоугольник и параллелограмм.

Для прямоугольника и параллелограмма момент инерции относительно главной центральной оси z_c:

Для определения dF выделим элементарную полоску шириной dy на расстоянии y от оси z_с (рис. 5.7), тогда:

dF = b ´ dy

Рисунок 5.7

Подставим это выражение dF под знак интеграла I_zc:

Аналогично можно получить формулу главного центрального момента инерции I_yc для прямоугольника относительно оси y_c:

Для прямоугольника центробежный момент инерции относительно прямоугольной системы координат, оси которой параллельны главным осям сечения (рис. 5.8):

Рисунок 5.8

Треугольник.

Вычислим момент инерции сечения треугольной формы относительно оси z проходящей через основание:

Выделим элементарную полоску шириной dy на расстоянии y (рис. 5.9), тогда:

dF = b(y) ´ dy =

Рисунок 5.9

Подставим под знак интеграла:

Определим момент инерции относительно центральной оси z_c. Для этого вначале определим координату центра тяжести y_c:

Используя формулы изменения моментов инерции при параллельном переносе осей, запишем:

I_z = I_zc + y_c² F, откуда:

I_zc = I_z – y_c² F =

Круг и полукруг.

Осевые моменты инерции круга определим с помощью соотношения:

I_p = I_zc + I_yc

В силу симметрии круга:

I_zc = I_yc = I_p / 2

Для вычисления полярного момента инерции I_p выделим элементарное кольцо шириной dρ на расстоянии ρ от центра круга (рис. 5.10).

Площадь элементарного кольца:

dF = 2πρ dρ

Рисунок 5.10

Полярный момент инерции:

Следовательно, осевые моменты инерции круга:

I_zc = I_yc = I_p / 2»0,05d⁴

Так как ось z_c делит круг пополам, то момент инерции полукруга I_z относительно оси z проходящей через основание:

I_z = I_zc /2»0,025d⁴

Момент инерции четверти круга I_z относительно оси z проходящей через основание:

I_z»0,0125d⁴

Вычислим центробежный момент инерции четверти круга: I_zy:

(1)

Для вычисления центробежного момента инерции I_zy выделим элементарный участок dF двумя кольцевыми сечениями на расстоянии dρ друг от друга и на расстоянии ρ от центра четверти круга и двумя радиусными сечениями с раствором dθ на расстоянии θ от оси z (рис. 5.11).

Рисунок 5.11

Площадь элементарного кольца:

dF = ρ dθ dρ

Координаты центра элементарного участка z и y:

z = ρ cosθ

y = ρ sinθ

Подставим выражения dF, z и y в (1) получим центробежный момент инерции четверти круга:

Тонкостенное кольцо и полукольцо.

Выделим элементарный сектор двумя радиусами, отстоящими друг от друга на расстоянии dj (рис. 5.12).

Рисунок 5.12

Площадь элементарного сектора:

dF = r dj δ

Момент инерции кольца относительно оси z_c:

Момент инерции тонкостенного полукольца относительно оси z проходящей через основание:

I_z = I_zc / 2 = (πr³ δ)/2

7. Моменты инерции составных сечений

Для определения момента инерции составных сечений выполняют процедуру, которая включает следующие этапы.

1. Заданную сложную фигуру поперечного сечения разбивают на n простейших, для которых в предыдущем параграфе определены моменты инерции.

2. Определяют положение центра тяжести сложного сечения, используя зависимости:

,

3. Определяют собственные осевые моменты инерции отдельных частей сечения относительно их центральных осей. Наиболее распространенные формулы вычисления характеристик сечения для простейших фигур приведены в таблице 5.2.

Таблица 5.2

№	Сечение	Характеристики сечения
	Прямоугольник	yc = h/2 zc = b/2 F = bh ,
	Параллелограмм	yc = h/2 F = bh
	Треугольник	yc = h/3 F = bh/2
	Круг	F = πr2
	Полукруг	F = πr2/2 yc = 0,424r Izc = 0,1098r4
	Четверть круга	F = πr2/4
	Кольцо	F = π (r12 - r22)
	Тонкостенное кольцо	F = 2π δ
	Тонкостенное полукольцо	F = π δ

4. Вычисляют осевые моменты инерции каждой простейшей фигуры относительно заданной оси при помощи зависимостей изменения момента инерции в случае параллельного переноса осей:

I_{z i}= I_{zc i} + y_{c i}² ´F_i

I_{y i}= I_{yc i} + z_{c i}² ´F_i

5. Вычисляют центробежные моменты инерции каждой простейшей фигуры относительно центральных осей составного сечения I_{zc yc i} по формулам, приведенным в таблице 5.2.

6. Алгебраическим суммированием моментов инерции простейших фигур определяют осевые моменты инерции сложного поперечного сечения относительно заданной оси I_z, I_y и центробежный момент инерции относительно центральной оси I_{zc yc}:

I_z=S I_{z i}, I_y=S I_{y i}, I_{zc yc} = S I_{zc yc i}

7. Определяют осевые моменты инерции сложного поперечного сечения относительно центральных осей I_zc, I_yc:

I_zc = I_z - y_c² ´F, I_yc = I_y - z_c² ´F

8. Определяют угол наклона главных центральных осей:

9. Определяют главные центральные моменты инерции составного сечения:

Пример 5.2.

Задано поперечное сечение балки, представленное на рисунке 5.13.

Определить координаты центра тяжести y_c, z_c, моменты инерции I_y, I_z, I_zy, угол поворота главных центральных осей α, главные центральные моменты инерции I_zc, I_yc.

Рисунок 5.13

Решение.

1. Разбиваем поперечное сечение на три прямоугольника (рис. 5.14).

Рисунок 5.14

2. Определим положение центра тяжести. Вычисления проводим в форме таблицы 5.3.

Таблица 5.3

Из таблицы:

3. Вычисляем осевые моменты инерции в форме таблицы 5.4. Собственные моменты инерции вычисляем по формулам для прямоугольника:

, ,

Таблица 5.4

Из таблицы осевые моменты инерции относительно заданных осей z, y:

I_z= SI_zc + Sy_c² ´F =7,47 10^-6 + 6,974´10^-4 = 7,049´10^-4 м⁴,

I_y= SI_yc + Sz_c² ´F = 4,51´10^-4 + 1,673´10^-3 = 2,124´10^-3 м⁴.

4. Центробежный момент инерции относительно центральных осей z_c и y_c:

I_{yс zс} =0,015´(0,3- z_c)´(0,2125- y_c)+2´10^-3´(0,3- z_c)´(0,1- y_c)+1,2´10^-3´(0,345- z_c)´

´(7,5´10^-3- y_c)= -1,166´10^-6+5,196´10^-7-9,02´10^-6 = -9,673´10^-6 м⁴.

5. Используя формулы для параллельного переноса осей, определим центральные осевые моменты инерции сечения:

I_zc = I_z - y_c² ´F = 7,049´10^-4 – 0,1866² ´0,0182 = 7,118´10^-5 м⁴,

I_yc = I_y - z_c² ´F = 2,124´10^-3 – 0,303² ´0,0182 = 4,531´10^-4 м⁴.

6. Определим главные центральные моменты инерции сечения:

I₁ = 45,3 ´10^-5 м⁴,

I₂ = 7,1 ´10^-5 м⁴

6. Угол наклона главных центральных осей:

, откуда

α = -1,45°

8. Круг инерции Мора (рис. 5.15):

Рисунок 5.15

Пример 5.3

На рисунке 5.16 приведено типовое сечение крыла, которое состоит из двух секций. Обшивка на верхней и нижней поверхности подкреплена z-образными стрингерами. Необходимо определить положение главных центральных осей и вычислить главные центральные моменты инерции.

Рисунок 5.16

Решение.

1. Расчетное сечение представим в виде площадей сосредоточенных в центрах тяжести стрингеров, каждое из которых характеризуется площадью F_i, которая складывается из площади стрингера F_{стр i} и эффективной площади обшивки F_{обш i}. Также зададим координаты центров тяжести стрингеров z_i и y_i в выбранной системе координат “z-y” (рис. 5.17)

Рисунок 5.17

Геометрические характеристики представлены в таблице 5.5.

В таблице также приведены результаты расчетов осевых моментов инерции I_z, I_y и центробежного момента I_zy.

Таблица 5.5

2. Определим положение центра тяжести, используя данные таблицы 5.5.

3. Из таблицы осевые моменты инерции относительно заданных осей z, y:

I_z =73311837 мм⁴,

I_y = 515535527,9 мм⁴.

Центробежный момент инерции относительно осей z и y:

I_yz = -6097010,3 мм⁴.

4. Используя формулы для параллельного переноса осей, определим центральные моменты инерции сечения I_zc, I_yc, I_{yc zc}:

I_zc = I_z - y_c² ´F = 73311837 – 10,04² ´2312,3 = 7,3´10^-5 м⁴,

I_yc = I_y - z_c² ´F = 515535527,9 – (-389,9)² ´2312,3 = 1,64´10^-4 м⁴,

I_yczc= I_zy - z_c´ y_c ´F = -6097010,3 – ((-389,9) ´(-10,04)´2312,3) = -1,51´10^-5 м⁴.

5. Угол наклона главных центральных осей:

, откуда

α = -9,13°

6. Определим главные центральные моменты инерции сечения:

I₁ = 16,64 ´10^-5 мм⁴, I₂ = 7,06 ´10^-5 мм⁴.

В качестве предельных напряжений принимают предел прочности s_в (τ_в). для хрупких материалов и предел текучести s_т (τ_т) для пластических материалов.

При установлении запаса прочности n_s (n_τ) учитывают разброс механических свойств материала, отступления в геометрии элементов конструкции, хотя бы в пределах допусков.

В случае, когда заданы размеры элемента конструкции и его материал проводят проверочный расчет. Требуется выяснить, может ли заданный элемент выдержать, не разрушаясь, заданную нагрузку. В этом случае определяют избытки прочности h_s (h_τ) как отношение допускаемых напряжений к максимальным действующим напряжениям:

или .

Аналогично проводят расчет на жесткость, только вместо условия прочности записывают условие жесткости, ограничивающее величину деформаций (или перемещений). Однако даже в том случае, когда выполнен расчет на жесткость, всегда необходимо проводить проверочный расчет на прочность и, если он дает отрицательный результат, то следует принять размеры, полученные из расчета на прочность.

Поверочным расчетом определяют среднее число полетных циклов N_пц, при котором с 50%- ой вероятностью произойдет усталостное разрушение элемента конструкции.

Литература

1. Заславский Б.В., Краткий курс сопротивления материалов, Москва, Машиностроение, 1986

2. Беляев Н.М., Сопротивление материалов, Москва, Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953

3. Феодосьев В.И., Сопротивление материалов, Москва, Наука, 1974

4. Биргер И.А., Мавлютов Р.В., Сопротивление материалов, Москва, Наука, 1986

5. Тимошенко С.П., Сопротивление материалов, том I, Москва, Наука, 1965

6. Тимошенко С.П., Сопротивление материалов, том II, Москва, Наука, 1965

7. Сборник задач по сопротивлению материалов, под редакцией Уманского А.А., Москва, Наука, 1975

8. Михарев К.К., Сухова Н.А., Сборник задач по курсу «Сопротивление материалов», Москва, Машиностроение,1980

9. Винокуров А.И., Сборник задач по сопротивлению материалов, Москва, Высшая школа, 1980

10. C.T.F. Ross, Advanced applied stress analysis, New York, Ellis Horwood Limited, 1987

11. E.F. Bruhn, Analysis and design of flight vehicle structures, USA, 1965

12. Авдонин А.С., Фигуровский В.И., Расчет на прочность летательных аппаратов, Москва, Машиностроение, 1985

13. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Метвеев В.В., Справочник по сопротивлению материалов, Киев, Наукова думка, 1975

14. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П., Сопротивление материалов, Москва, Высшая школа, 2004

15. Фесик С.П., Справочник по сопротивлению материалов, Киев, Будевильник, 1970

16. Кан С.Н., Свердлов И.А., Расчет самолета на прочность, Москва, Машиностроение, 1966

17. Броек Давид, Основы механики разрушения, Москва, Высшая школа, 1980

18. Белайчук А.К., Воскобойник М.С., Лагосюк Г.С., Миртов К.Д., Миленький Ю.Д., Мухо В.С., Осокин Д.П.. Скрипка М.Л., Ушаков В.С., Черненко Ж.С., Сборник задач по конструкции и прочности самолетов и вертолетов, Москва, Транспорт, 1973

19. www.mysopromat.ru