Геометрические характеристики основных плоских сечений

Здесь: C - центр тяжести плоских сечений;

A - площадь сечения;

I_x , I_y - осевые моменты инерции сечения относительно главных осей;

I_xI , I_yI - осевые моменты инерции относительно вспомогательных осей;

I_p - полярный момент инерции сечения;

W_x , W_y - осевые моменты сопротивления;

W_p - полярный момент сопротивления

Прямоугольное сечение     Сечение равнобедренный треугольник         Сечение прямоугольный треугольник     Сплошное круглое сечение     Полукруглое сечение     Четверть круглого сечения     Кольцевое сечение         Тонкостенное сечение (сечение трубы)

Статическим моментом плоского сечения относительно некоторой оси называется, взятая по всей его площади А, сумма произведений площадей элементарных площадок dA на их расстояния от их центра тяжести до этой оси

где y_c – расстояние от центра тяжести всего плоского сечения до оси x; x_c – расстояние от центра тяжести всего сечения до оси y.

Статический момент сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей этого сечения относительно той же оси:

В формулах (6) введены обозначения: А₁, А₂, …, А_n – площади простых элементов, составляющих плоское сложное сечение; x₁, y₁, x₂, y₂, x₃, y₃, …, x_n, y_n – координаты центров тяжести простых составляющих сложного плоского сечения относительно выбранных осей х и у. Оси называются центральными, если они проходят через центр тяжести фигуры, т. е. статические моменты относительно этих осей равны нулю. Главными осями инерции фигуры называются оси относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. Если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной осью.

Координаты центра тяжести плоского сечения:

Для сложного поперечного сечения формулы (7) можно представить в следующем виде

Моментом инерции площади плоских сечений относительно оси называется сумма произведений площадей элементарных площадок на квадрат расстояния от их центра тяжести до соответствующей оси.

Определим осевые моменты инерции прямоугольника относительно осей x и y, проходящих через его центр тяжести (рис. 4.6). В качестве элементарной пло­щадки dА возьмем полоску шириной b и высотой dy (рис. 4.4). Тогда будем иметь:

Аналогичным образом можно установить, что .

Центробежный момент инерции: . Называется сумма произведений площадей элементарных площадок на расстояние от центра тяжести до оси.

Полярным момент инерции называется сумма произведения площадей элементарных площадок на квадрат расстояния от центра тяжести до начала координат: ; J_y + J_x = J_p

_{Прямоугольник: ; Jxy=0.}

_{Круг : .}

_{Четверть круга: Jy=Jx=0,055R}⁴_{; Jxy=±0,0165R}⁴_{; Jx0=0,0714R}⁴_{; Jy0=0,0384R}⁴_.

_{Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, так как под знаки интегралов входят положительные величины площадок dF и квадраты расстояний этих площадок от данной оси или полюса. Центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.}

_{Моменты инерции при параллельном переносе осей:}

_{Дляосевых моментов инерции:Jx1=Jx + a}²_{F; Jy1=Jy + b}²_{F; Для центробежных моментов: Jy1x1=Jyx + abF., где b –этоХс; a-это Yc, F-это площадь. Моменты инерции при повороте осей: Jx1=Jxcos}²_{a + Jysin}²_{a — Jxysin2a; Jy1=Jycos}²_{a + Jxsin}²_{a + Jxysin2a; Для центробежного момента инерции при параллельном переносе осей: Jx1y1= (Jx — Jy)sin2a + Jxycos2a; Jy1 + Jx1= Jy + Jx. Осевой момент инерции при повороте осей на угол ᵦ: Jx1=0,5(Jx+Jy)+0.5(Jx-Jy)*cos2ᵦ- Jxysin2ᵦ;}

_{Jy1=0.5(Jx+Jy)+0.5(Jx-Jy)*cos2ᵦ+Jxysin2ᵦ.}

Главные оси и главные моменты инерции: Главными осями называются оси,относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. Главными осями можно считать оси,относительно которых осевые моменты инерции достигают своих экстремальных значений(min, max) _{Угол, определяющий положение главных осей : . Мом-ты инерц. относит. главн. центр. осей называются главными моментами инерции: ; Jmax+Jmin=Jx+Jy.}

_{Связь между осевыми и центробежными моментами инерции: dJx1/dᵦ= - 2Jx1y1.}

Изгиб прямого бруса. Под изгибом понимают такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса действует изгибающий момент, от действия которого происходит искривление оси бруса.

Различаю два вида плоского изгиба:1) чистый;2)поперечный.

Под плоским чистым изгибом понимают деформацию, когда в поперечных сечениях участка бруса действует только один фактор,отличный от нуля и одинаковый во всех сечениях – это изгибающий момент.

Под плоским поперечным изгибом понимают такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса действуют два силовых фактора: изгибающий момент М и поперечная сила Q.

Изгибающий момент – внутренний силовой фактор (внутреннее усилие), возникающий именно: момент относительно оси, проходящей через центр тяжести этого сечения. Он действует в плоскости_, в поперечном сечении бруса, а перпендикулярной поперечному сечению бруса_.

Прямой брус, работающий главным образом на изгиб, принято назы вать балкой.

Балка может быть нагружена:

– сосредоточенными силами;

– распределенными нагрузками.

Если распределенная на некоторой площади нагрузка имеет посто янную интенсивность, то она называется равномерно распределенной. Сосредоточенные силы в системе СИ измеряются в Н, кН, Мн, а рас пределенная нагрузка – в Н/м2, кН/м2, Мн/м2.

Погонная нагрузка, приходящаяся на единицу длины бал ки: q = q 0 ⋅ b. Размерность погонной нагрузки q в Н/м, кН/м, Мн/м.

Условия для баллок: 1) сечение имеет хотя бы одну ось симметрии. 2) все внешние силы лежат в плоскости симметрии балки.

Главный вектор и главный момент внутренних сил в сечении правой части балки полностью совпадает по величине и направлению с главным вектором и главным моментом внешних сил, приложенным к левой части.

Основные типы балок: в зависимости от числа опор и характера опорного закрепления различают: 1)однопролетные; 2)консольные; 3) с заделанными концами; 4)разрезные; 5)неразрезные.

Консолью называют часть двухопорной балки, свисающую за опору или балку с одним защемленным, другим свободным концом.

Неразрезные балки -статически неопределенные балки, проходящие над несколькими опорами.

Правило знаков для внутренних силовых факторов:

За положительное направление изгибающего момента принимаем такое, когда растягиваются нижние волокна рамы, т.е. с выпуклостью вниз. За положительное направление поперечной силы принимаем такое, когда она стремится вращать нормаль к сечению по часовой стрелке Поперечную силу будем считать положительной при вращении сечения по часовой стрелке На эпюре будем откладывать положительные моменты вниз от оси, отрица- тельные – вверх (строим эпюру М со стороны растянутого волокна); поло жительные значения Q будем откладывать вверх от оси, отрицательные –вниз.

Метод сечений при изгибе: при поперечном изгибе в сечении действует изгибающий момент М и поперечная сила Q,для определения которых используют метод сечений. Действие отброшенной части заменяется внутренними силовыми факторами М и Q, которые определяются из уравнений равновесия.

Метод сечений для изгибающего момента:. Изгибающий момент равен алгебраической сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от сечения относительно центра тяжести этого сечения.

Метод сечений для поперечной силы: Поперечная сила Q равна алгебраической сумме (проекций на нормаль к оси балки) всех сил, приложенных к балке по одну сторону от сечения.

Слой, в котором отсутствуют удлинения, называется нейтральным слоем (осью, линией). При N=0 и Q=0, имеем случай чистого изгиба.

Нормальные напряжения: , r — радиус кривизны нейтрального слоя, y — расстояние от некоторого волокна до нейтрального слоя.

Закон Гука при изгибе: , откуда (формула Навье): , J_x — момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента, EJ_x— жесткость при изгибе, — кривизна нейтрального слоя. Т.е. кривизна изогнутой оси балки прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна жесткости балки.

Максимальные напряжения при изгибе возникают в точках, наиболее удаленных от нейтрального слоя: , J_x/y_max=W_x—момент сопротивления сечения при изгибе, . Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии, то эпюра нормальных напряжений s не будет симметричной. Нейтральная ось сечения проходит через центр тяжести сечения.

Условие прочности при изгибе: Ϭ_max=[Ϭ]_изг.

Определение допускающего момента: M<или=W_x*[Ϭ]_изг.

Проектный расчет: W_x>или=M_max/[Ϭ]_изг

Дифференциальные зависимости между М,Q и q: q=dQ/dz=d²M/dz;

q — интенсивность распределенной нагрузки [кН/м]

Производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки нагрузки в сечении, перпендикулярной к ее осям. Производная от изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе. Вторая производная от изгибающего момента по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки, перпендикулярной к её оси.

Нормальное напряжение при изгибе:

Основные гипотезы (допущения): 1) гипотеза о не надавливании продольных волокон: волокна, параллельные оси балки, испытывают деформацию растяжения – сжатия и не оказывают давления друг на друга в поперечном направлении; 2) гипотеза плоских сечений(гипотеза Бернулли): сечение балки, плоское до деформации, остается плоским и нормальным к искривленной оси балки после деформации. 3) продольные сечения искривляются по дуге окружности, 4) поперечные сечения пересекаются с продольными волокнами под прямым углом.

Статически неопределимой является задача определения нормальных напряжений Ϭ. И для ее определения необходимо рассмотреть три стороны задачи: 1)статическая сторона задачи (ССЗ), 2) геометрическая сторона (ГСЗ), 3) физическая сторона задачи (ФСЗ) и провести их СИНТЕЗ.

1)ССЗ: рассматриваем балку,определяем неизвестные реакции связей, затем Q и М на каждом участке, строим эпюры. Внутренние силовые факторы:Q_y=ʃځ*dA=0; М_х=ʃϬ*ydA=/0(не равно нулю); M_y=Ϭ*xdA.

2)ГСЗ: Длина отрезка на нейтральном слое: a₀b₀=dz=ϼ*ϴ

Длина отрезка на слое,удаленном от нейтрального слоя на расстояние y: a₁b₁=(ϼ+y)*ϴ; Удлинение отрезка после деформации: ∆_ab=a₁b₁-a₀b₀=(ϼ+y)*ϴ-ϼ*ϴ;

3) ФСЗ: При чистом изгибе в поперечных сечениях балки действуют единственный силовой фактор-изгибающий момент, поперечные силы отсутствуют (значит,отсутствуют и касательные напряжения). Под действием нормальных напряжений часть волокон балки удлинняется,другая- укорачивается. Для них закон Гука при растяжении: ε=(a₁b₁-a₀b₀)/a₀b₀=y/ϼ; Ϭ=ε*Е; Ϭ=Е*(y/ϼ)

4) Синтез: M_x=ʃϬ*ydA=ʃ(E/ϼ)*y²dA=(E/ϼ)ʃy²dA. тогда

Осевой Момент инерции: ʃ_ay*dA=I_x; Величина момента инерции характеризует влияние размеров и формы поперечного сечения балки на её способность сопротивляться деформаци. M_x=(E/ϼ)*I_x; M_x=E*I_x*(Ϭ/(E*y)); 1/ϼ=Ϭ/(E*y); Ϭ=(M_x/I_x)*y=M_x/W_x;

Момент сопротивления: W_x=I_x/y.

Момент сопротивления для прямоугольного сечения: W_x=(b*h²)/6.

Нейтральным слоем называют совокупность волокон, не меняющей своей длины при изгибе балки(т.е. слой, в котором отсутствуют удлинения) Нейтральный слой в балке проходит через центры тяжести поперечных сечений, т.е. совпадает с цен- тральной осью балки.

Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения балки называется нейтральной осью или нейтральной линией сечения.