Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Пример 7.5
Проинтегрировать усовершенствованным методом Эйлера ДУ y’ = y – x при начальных условиях х 0 = 0, у 0 = 1,5 на отрезке [0, 1], приняв h = 0,25.
Первый шаг: i = 0, x 0 = 0, y 0 = 1,5.
y ’0+1 = y 0 - x 0 = 1,5 – 0 = 1,5; 0,1875;
x 0+1/2 = x 0 + ; y 0+1/2 = y 0 + ;
y’ 0+1/2 = y 0+1/2 – x 0+1/2 = 1,6875 – 0,125 = 1,5625; 0,3906;
1,5 + 0,3906 = 1,8906;
Второй шаг: i = 1, x 1 = x 0 + h = 0 + 0,25 = 0,25; y 1 = 1,8906.
y ’2 = y 1 – x 1 = 1,8906 – 0,25 = 1,6406; 0,2051;
x 1+1/2 = x 1 + ; y 1+1/2 = y 1 + ;
y’ 1+1/2 = y 1+1/2 – x 1+1/2 = 2,0957 – 0,375 = 1,7207; 0,4302;
1,8906 + 0,4302 = 2,3208.
За повышение точности приходится расплачиваться дополнительными затратами времени на вычисление функции . Более высокая точность может быть получена, если улучшить аппроксимацию производной, сохраняя большее число членов ряда Тейлора.
7.3.4 Методы Рунге-Кутта
Метод Рунге-Кутта является одним из методов повышенной точности. Он имеет много общего с методом Эйлера. Метод Эйлера можно считать методом Рунге-Кутта первого порядка (в разложении в ряд Тейлора остается только первая производная). Пусть требуется найти численное решение уравнения y ’ = f (x, y) на отрезке [ a, b ] с начальными условиями у (х 0) = у 0. Разобьем отрезок [ a, b ] на n равных частей с точками xi = x 0 + i·h (i = 0, 1,…, n), где h = (b - a)/ n – шаг интегрирования. В методе Рунге-Кутта, так же как и в методе Эйлера, последовательные значения yi искомой функции у определяются по формуле yi +1 = yi + Δ yi.
Если разложить функцию у в ряд Тейлора и ограничиться членами до h 4 включительно, то приращение функции Δ y можно представить в виде
, (7.2)
где производные находят последовательным дифференцированием из уравнения y ’ = f (x, y). Вместо непосредственных вычислений по формуле (7.2) в методе Рунге-Кутта определяют четыре числа:
(7.3)
Можно доказать, что если числам k 1, k 2, k 3, k 4 придать соответственно вес 1/6; 1/3; 1/3; 1/6, то средневзвешенное этих чисел, т.е.
с точностью до четвертых степеней равно значению Δ у, вычисленному по формуле (7.2)
(7.4) Таким образом, для каждой пары текущих значений xi и yi по формулам (7.3) определяют значения
(7.5)
по формуле (7.4) находят
Метод Рунге-Кутта имеет порядок точности h 4 на всем отрезке [ a, b ]. Оценка точности этого метода затруднительна. Грубую оценку погрешности можно получить с помощью «двойного просчета» по формуле
где у (хi) – значение точного решения ДУ в точке хi, а и уi – приближенные значения, полученные с шагом h /2 и h. Если ε – заданная точность решения, то число n (число делений) для определения шага интегрирования h = (b - a)/ n выбирается таким образом, чтобы
h 4 < ε.
Однако шаг расчета можно менять при переходе от одной точки к другой. Для оценки правильности выбора шага h используется равенство
где q должно быть равно нескольким сотым, в противном случае шаг h уменьшают.
|