Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Пример 7.5





 

Проинтегрировать усовершенствованным методом Эйлера ДУ y’ = y – x при начальных условиях х 0 = 0, у 0 = 1,5 на отрезке [0, 1], приняв h = 0,25.

 

Первый шаг: i = 0, x 0 = 0, y 0 = 1,5.

 

y 0+1 = y 0 - x 0 = 1,5 – 0 = 1,5; 0,1875;

 

x 0+1/2 = x 0 + ; y 0+1/2 = y 0 + ;

 

y’ 0+1/2 = y 0+1/2 – x 0+1/2 = 1,6875 – 0,125 = 1,5625; 0,3906;

 

1,5 + 0,3906 = 1,8906;

 

Второй шаг: i = 1, x 1 = x 0 + h = 0 + 0,25 = 0,25; y 1 = 1,8906.

 

y 2 = y 1x 1 = 1,8906 – 0,25 = 1,6406; 0,2051;

 

x 1+1/2 = x 1 + ;

y 1+1/2 = y 1 + ;

 

y’ 1+1/2 = y 1+1/2 – x 1+1/2 = 2,0957 – 0,375 = 1,7207; 0,4302;

 

1,8906 + 0,4302 = 2,3208.

 

За повышение точности приходится расплачиваться дополнительными затратами времени на вычисление функции .

Более высокая точность может быть получена, если улучшить аппроксимацию производной, сохраняя большее число членов ряда Тейлора.

 

7.3.4 Методы Рунге-Кутта

 

Метод Рунге-Кутта является одним из методов повышенной точности. Он имеет много общего с методом Эйлера. Метод Эйлера можно считать методом Рунге-Кутта первого порядка (в разложении в ряд Тейлора остается только первая производная).

Пусть требуется найти численное решение уравнения y = f (x, y) на отрезке [ a, b ] с начальными условиями у (х 0) = у 0.

Разобьем отрезок [ a, b ] на n равных частей с точками xi = x 0 + i·h (i = 0, 1,…, n), где h = (b - a)/ n – шаг интегрирования. В методе Рунге-Кутта, так же как и в методе Эйлера, последовательные значения yi искомой функции у определяются по формуле

yi +1 = yi + Δ yi.

 

Если разложить функцию у в ряд Тейлора и ограничиться членами до h 4 включительно, то приращение функции Δ y можно представить в виде

 

, (7.2)

 

где производные находят последовательным дифференцированием из уравнения y = f (x, y).

Вместо непосредственных вычислений по формуле (7.2) в методе Рунге-Кутта определяют четыре числа:

 

 

(7.3)

 

 

Можно доказать, что если числам k 1, k 2, k 3, k 4 придать соответственно вес 1/6; 1/3; 1/3; 1/6, то средневзвешенное этих чисел, т.е.

 

 

с точностью до четвертых степеней равно значению Δ у, вычисленному по формуле (7.2)

 

(7.4)

Таким образом, для каждой пары текущих значений xi и yi по формулам (7.3) определяют значения

 

 

(7.5)

 

 

по формуле (7.4) находят

 

 

Метод Рунге-Кутта имеет порядок точности h 4 на всем отрезке [ a, b ]. Оценка точности этого метода затруднительна. Грубую оценку погрешности можно получить с помощью «двойного просчета» по формуле

 

 

где у (хi) – значение точного решения ДУ в точке хi, а и уi – приближенные значения, полученные с шагом h /2 и h.

Если ε – заданная точность решения, то число n (число делений) для определения шага интегрирования h = (b - a)/ n выбирается таким образом, чтобы

 

h 4 < ε.

 

Однако шаг расчета можно менять при переходе от одной точки к другой. Для оценки правильности выбора шага h используется равенство

 

 

где q должно быть равно нескольким сотым, в противном случае шаг h уменьшают.

 

Date: 2016-02-19; view: 279; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию