Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Пример 7.3





 

Применяя метод Эйлера, составить на отрезке [1; 1,5] таблицу значений ДУ при начальных условиях у (1) = 0,77, у (1) = - 0,44 с шагом h = 0,1.

С помощью подстановки у = z, у’’ = z заменим данное уравнение системой уравнений

 

 

при начальных условиях у (1) = 0,77, z (1) = - 0,44

Результаты расчета приведены в табл. 7.2

Таблица 7.1 – Решение системы ДУ

i xi yi yi = z Δ yi = yi · h zi zi = - zi / xi - yi Δ zi = zi · h
  1,0 0,77 -0,44 -0,044 -0,44 -0,33 -0,033
  1,1 0,726 -0,473 -0,0473 -0,473 -0,296 -0,03
  1,2 0,679 -0,503 -0,0503 -0,503 -0,26 -0,026
  1,3 0,629 -0,529 -0,0529 -0,529 -0,222 -0,022
  1,4 0,576 -0,551 -0,0551 -0,551 -0,183 -0,018
  1,5 0,521          

 

7.3.2 Метод Эйлера Коши

 

Сначала вычисляется значение функции в следующей точке по методу Эйлера

 

которое затем используется для вычисления приближенного значения производной в конце интервала .

Вычислив среднее арифметическое между значениями производной (наклонами ломаных) в начале и конце интервала, найдем более точное значение уi +1 (формула Эйлера-Коши):

 

 

где хi+ 1 = хi + h.

Принцип, на котором основано улучшение метода Эйлера, можно пояснить и иначе – на основе использования разложения функции в ряд Тейлора. Точность повышается за счет того, что сохраняются в разложении члены, содержащие производные более высоких порядков, чем первый. Для улучшения метода Эйлера надо знать вторую производную. Ее можно аппроксимировать конечной разностью

 

 

Если ее подставить в ряд Тейлора, то результатом будет формула Эйлера-Коши.

 

Пример 7.4.

 

Решить ДУ на интервале [0, 1] с шагом h = 0,25 методом Эйлера - Коши. Начальные условия: y (x 0) = у 0 = 0.

Решение выполняется по формулам:

у * i +1 = yi + h f (xi, yi),

 

Первый шаг: i = 0, x 0 = 0, y 0 = 0

 

у *1 = y 0 + h (2 x 0y 20 + х 40) = 0 + 0,25·(2∙0 – 02 + 04) = 0;

 

x 1 = x 0 + h = 0 + 0,25 = 0,25

 

у 1 = у 0 + 0,5 h [(2 x 0y 20 + х 40) + (2 x 1 – (y 1*)2 + х 41)] =

 

= 0 + 0,5·0,25·[(2∙0 – 02 + 04) + (2∙0,25 – 02 + 0,254) = 0,063;

 

Второй шаг: i = 1, x 1 = 0,25, y 1 = 0,063

 

y *2 = y 1 + h (2 x 1y 21 + х 41) = 0,063 + 0,25·(2∙0,25 – 0,0632 + 0,254) = 0,188;

 

x 2 = x 1 + h = 0,25 + 0,25 = 0,5

 

у 2 = у 1 + 0,5 h [(2 x 1y 21 + х 41) + (2 x 2 – (y 2*)2 + х 42)] =

 

= 0,063 + 0,5·0,25·[(2∙0,25 – 0,0632 + 0,254) + (2∙0,5 – 0,1882 + 0,54)] = 0,254;

 

Третий шаг: i = 2, x 2 = 0,5, y 2 = 0,254

 

y *3 = y 2 + h (2 x 2y 22 + х 42) = 0,254 + 0,25·(2∙0,5 – 0,2542 + 0,54) = 0,5035:

 

x 3 = x 2 + h = 0,5 + 0,25 = 0,75

 

у 3 = у 2 + 0,5 h f [(2 x 2y 22 + х 42) + (2 x 3 – (y 3*)2 + х 43)] =

 

= 0,254 + 0,5·0,25·[(2∙0,5 – 0,2542 + 0,54) + (2∙0,75 – 0,50352 + 0,754)] = 0,574.

 

 

7.3.3 Усовершенствованный метод Эйлера

 

Сущность усовершенствованного метода Эйлера состоит в следующем: сначала вычисляются вспомогательные значения искомой функции yi +1/2 в точках xi +1/2 = xi + h/2 помощью формулы

 

,

 

затем находят значение f (x,y) в средней точке и определяют

 

.

 

Оценка погрешности в точке хi может быть получена с помощью «двойного просчета»: расчет повторяют с шагом h /2 и погрешность более точного (при шаге h /2) оценивают приближенно по формуле

 

 

где у (х) – точное решение ДУ.

 

Date: 2016-02-19; view: 334; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.005 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию