Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Пример 7.3
Применяя метод Эйлера, составить на отрезке [1; 1,5] таблицу значений ДУ при начальных условиях у (1) = 0,77, у’ (1) = - 0,44 с шагом h = 0,1. С помощью подстановки у’ = z, у’’ = z’ заменим данное уравнение системой уравнений
при начальных условиях у (1) = 0,77, z (1) = - 0,44 Результаты расчета приведены в табл. 7.2 Таблица 7.1 – Решение системы ДУ
7.3.2 Метод Эйлера Коши
Сначала вычисляется значение функции в следующей точке по методу Эйлера
которое затем используется для вычисления приближенного значения производной в конце интервала . Вычислив среднее арифметическое между значениями производной (наклонами ломаных) в начале и конце интервала, найдем более точное значение уi +1 (формула Эйлера-Коши):
где хi+ 1 = хi + h. Принцип, на котором основано улучшение метода Эйлера, можно пояснить и иначе – на основе использования разложения функции в ряд Тейлора. Точность повышается за счет того, что сохраняются в разложении члены, содержащие производные более высоких порядков, чем первый. Для улучшения метода Эйлера надо знать вторую производную. Ее можно аппроксимировать конечной разностью
Если ее подставить в ряд Тейлора, то результатом будет формула Эйлера-Коши.
Пример 7.4.
Решить ДУ на интервале [0, 1] с шагом h = 0,25 методом Эйлера - Коши. Начальные условия: y (x 0) = у 0 = 0. Решение выполняется по формулам: у * i +1 = yi + h f (xi, yi),
Первый шаг: i = 0, x 0 = 0, y 0 = 0
у *1 = y 0 + h (2 x 0 – y 20 + х 40) = 0 + 0,25·(2∙0 – 02 + 04) = 0;
x 1 = x 0 + h = 0 + 0,25 = 0,25
у 1 = у 0 + 0,5 h [(2 x 0 – y 20 + х 40) + (2 x 1 – (y 1*)2 + х 41)] =
= 0 + 0,5·0,25·[(2∙0 – 02 + 04) + (2∙0,25 – 02 + 0,254) = 0,063;
Второй шаг: i = 1, x 1 = 0,25, y 1 = 0,063
y *2 = y 1 + h (2 x 1 – y 21 + х 41) = 0,063 + 0,25·(2∙0,25 – 0,0632 + 0,254) = 0,188;
x 2 = x 1 + h = 0,25 + 0,25 = 0,5
у 2 = у 1 + 0,5 h [(2 x 1 – y 21 + х 41) + (2 x 2 – (y 2*)2 + х 42)] =
= 0,063 + 0,5·0,25·[(2∙0,25 – 0,0632 + 0,254) + (2∙0,5 – 0,1882 + 0,54)] = 0,254;
Третий шаг: i = 2, x 2 = 0,5, y 2 = 0,254
y *3 = y 2 + h (2 x 2 – y 22 + х 42) = 0,254 + 0,25·(2∙0,5 – 0,2542 + 0,54) = 0,5035:
x 3 = x 2 + h = 0,5 + 0,25 = 0,75
у 3 = у 2 + 0,5 h f [(2 x 2 – y 22 + х 42) + (2 x 3 – (y 3*)2 + х 43)] =
= 0,254 + 0,5·0,25·[(2∙0,5 – 0,2542 + 0,54) + (2∙0,75 – 0,50352 + 0,754)] = 0,574.
7.3.3 Усовершенствованный метод Эйлера
Сущность усовершенствованного метода Эйлера состоит в следующем: сначала вычисляются вспомогательные значения искомой функции yi +1/2 в точках xi +1/2 = xi + h/2 помощью формулы
,
затем находят значение f (x,y) в средней точке и определяют
.
Оценка погрешности в точке хi может быть получена с помощью «двойного просчета»: расчет повторяют с шагом h /2 и погрешность более точного (при шаге h /2) оценивают приближенно по формуле
где у (х) – точное решение ДУ.
|