Элементарные логические функции. Алгебра логики (булева алгебра)

Алгебра логики (булева алгебра)

· Первый закон обычной алгебры.

Коммутативный (переместительный) закон:

Х₁+Х₂=Х₂+Х₁;

Х₁^.Х₂=Х₂^.Х₁.

· Второй закон обычной алгебры.

Ассоциативный (сочетательный) закон:

Х₁+(Х₂+Х₃)= (Х₁+Х₂)+Х₃;

Х₁^.(Х₂^.Х₃) = (Х₁^.Х₂)^.Х₃.

· Третий закон булевой алгебры.

Дистрибутивный (распределительный) закон:

(Х₁+Х₂)^.(Х₁+X₃)= Х₁+Х₂^.Х₃.

Аксиомы формальной логики

· Х₁+Х₁=1;

· Х₁^.Х₁=0;

· Х₂+Х₂^.Х₃=Х₂(1+Х₃)= Х₂.

Правила формальной логики

· Правило склеивания:

Х₁(Х₁+ Х₂)=Х₁;

· Правило повторения:

Х₁^.Х₁=Х₁ Х₁+Х₁=Х₁;

· Правило отрицания:

Х₁+Х₁=1;

· Аксиома двойного отрицания:

(Х₁)=Х₁;

· Операции с постоянными:

Х1.1=Х1 Х1+1=1; 0 =1;

Х1.0=0; Х1+0= Х1; 1 = 0

Теорема Де Моргана

· Х₁+Х₂=Х₁^.Х₂;

· Х₁^.Х₂= Х₁+Х₂;

· Х₁+Х₂+Х₃=Х₁^.Х₂^.Х₃.

Элементарные логические функции

· х₁+х₂ = у — дизъюнкция (логическое сложение):

· х₁^.х₂ = у — конъюнкция (логическое умножение):

· у = f(х₁) = х₁ — инверсия (отрицание):

Таблица всевозможных функций двух переменных

у₁₄ — логическое сложение;

у₈ — логическое умножение;

инверсии нет;

у₇ — логическая функция И-НЕ (штрих Шефера);

у₁ — логическая функция ИЛИ-НЕ (стрелка Пирса);

у₉ — операция эквивалентности (исключающее ИЛИ-НЕ);

у₆ — операция неэквивалентности (исключающее ИЛИ; полусумматор по модулю 2).

Реализация функции эквивалентности в базисе И-ИЛИ-НЕ.

Таблица истинности такого логического элемента:

Реализация функции неэквивалентности в базисе И-ИЛИ-НЕ.

Таблица истинности такого логического элемента: