Глава 6 линейные цепи с несинусодальными источниками

Основные понятия и определения

В главе 3 мы рассмотрели процессы в цепях переменного тока при гармонических изменениях Э.Д.С. и токов. На практике мы часто встречаемся с несинусоидальными периодическими Э.Д.С. и токами, которые изменяются во времени не по гармоническому закону, но значения которых регулярно повторяются при истечении полного цикла изменений Т, как это показано на рис. 6.1.

Несинусоидальное Э.Д.С. и токи возникают при включении в цепь переменного тока элемента с насыщенным стальным сердечником, наличие нелинейных сопротивлений в цепи, включение некоторых преобразователей энергии и в ряде других случаев.

Обычным приёмом является представление несинусоидальных Э.Д.С. или токов в виде суммы синусоидальных Э.Д.С. и токов при помощи разложения в ряд Фурье.

Для периодичной несинусоидальной Э.Д.С. можем записать:

, (6.1)

где - постоянная составляющая Э.Д.С.;

- основная или первая гармоника;

- высшая гармоника порядка k;

- амплитуда;

- начальная фаза k-й гармоники.

Заметим, что разложение в ряд Фурье возможно для функций, удовлетворяющим условиям Дирихле, то есть имеющих за полный период конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов. Этим условия всегда удовлетворяют Э.Д.С., напряжения и токи в реальных физических цепях.

Для вычисления коэффициентов ряда Фурье целесообразно его члены представить через синусы и косинусы без начальных фаз. Имеем:

. (6.2)

Таким образом,

. (6.3)

Из курса математики известны формулы для нахождения :

; (6.4)

; (6.5)

. (6.6)

Имея и , находим амплитуду и начальную фазу:

; (6.7)

. (6.8)

В общем случае ряд Фурье содержит бесконечное число членов, но, как правило, обычно можно ограничиться некоторым конечным числом члена ряда (обычно 3-4).

Таким образом, несинусоидальный источник напряжения можно представить упрощенно как схему, изображенную на (рис. 6.2)

Значительное число непериодических функций времени, с которыми приходится встречаться в электротехнике (рис. 6.3), удовлетворяет условию:

. (6.9)

Функции, удовлетворяющие этому условию, называются симметричными относительно оси абсцисс. Они раскладываются в ряд, который не содержит четных гармоник и постоянной составляющей:

. (6.10)

В схемах выпрямления переменного тока часто приходится встречаться с функциями, которые при соответствующем выборе начала координат удовлетворяют условию.

. (6.11)

Такие функции называются симметричными относительно оси ординат (рис. 6.4).

В этом случае ряд не содержит синусов:

. (6.12)

В схемах умножения частоты встречаются функции, которые при выборе начала координат в точке нуля функции удовлетворяют условию (рис. 6.5).

. (6.13)

Такие функции называются симметричными относительно начала координат. Они раскладываются в ряд, не содержащий косинусов о постоянной составляющей:

. (6.14)

При оценке несинусоидальных периодических кривых в электроэнергетике используются коэффициент формы , коэффициент амплитуды , коэффициент искажения .

Коэффициент формы определяется как отношение действующего значения к среднему по модулю значению:

. (6.15)

Для синусоиды .

Коэффициент амплитуды равен отношению максимального значения к действующему значению:

. (6.16)

Для синусоиды .

Коэффициент искажения определяется как отношение действующего значения основной (первой) гармоники к действующему значению все кривой:

. (6.17)

Для синусоиды .

Представим в виде ряда выражение для мгновенной Э.Д.С., действующей в цепи:

(6.18)

и, определяя действующую Э.Д.С. по известному выражению

, (6.19)

в результате получим:

, где . (6.20)

Подобно выражению 6.20 получим выражение для действующего тока:

, где .