Прямая угловая засечка

Сначала рассмотрим так называемый общий случай прямой угловой засечки, когда углы β1 и β2 измеряются на двух пунктах с известными координатами, каждый от своего направления с известным дирекционным углом (рис.2.6).

Рис.2.6

Исходные данные: XA, YA, αAC,
XB, YB, αBD

Измеряемые элементы: β 1, β2

Неизвестные элементы: X, Y

Если αAC и αBD не заданы явно, нужно решить обратную геодезическую задачу сначала между пунктами A и C и затем между пунктами B и D.

Графическое решение. От направления AC отложить с помощью транспортира угол β1 и провести прямую линию AP; от направления BD отложить угол β2 и провести прямую линию BP; точка пересечения этих прямых является искомой точкой P.

Аналитическое решение. Приведем алгоритм варианта, соответствующий общему случаю засечки:

вычислить дирекционные углы линий AP и BP

(2.14),

(2.15)

написать два уравнения прямых линий

для линии AP Y - YA= tgα1 * (X - XA),

для линии BP Y - YB= tgα2 * (X - XB) (2.16)

решить систему двух уравнений и вычислить неизвестные координаты X и Y:

(2.17),

(2.18)

Частным случаем прямой угловой засечки считают тот случай, когда углы β1 и β2 измерены от направлений AB и BA, причем угол β1 - правый, а угол β2 - левый (в общем случае засечки оба угла - левые) - рис.2.7.

Рис.2.7

Решение прямой угловой засечки методом треугольника соответствует частному случаю засечки. Порядок решения при этом будет такой:

решить обратную задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол αAB и длину b линии AB,

вычислить угол γ при вершине P, называемый углом засечки,

(2.19)

используя теорему синусов для треугольника APB:

(2.20)

вычислить длины сторон AP (S1) и BP (S2),

вычислить дирекционные углы α1 и α2:

(2.21)

решить прямую задачу от пункта A к точке P и для контроля - от пункта B к точке P.

Для вычисления координат X и Y в частном случае прямой угловой засечки можно использовать формулы Юнга:

(2.22)

От общего случая прямой угловой засечки нетрудно перейти к частному случаю; для этого нужно сначала решить обратную геодезическую задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол αAB линии AB и затем вычислить углы в треугольнике APB при вершинах A и B

BAP = αAB - (αAC + β1) и ABP = (αBD + β2) - αBA.

Для машинного счета все рассмотренные способы решения прямой угловой засечки по разным причинам неудобны. Один из возможных алгоритмов решения общего случая засечки на ЭВМ предусматривает следующие действия:

вычисление дирекционных углов α1 и α2,

введение местной системы координат X'O'Y' с началом в пункте A и с осью O'X', направленной вдоль линии AP, и пересчет координат пунктов A и B и дирекционных углов α1 и α2 из системы XOY в систему X'O'Y' (рис.2.8):

X'A = 0, Y'A = 0,

(2.23),
(2.24),

запись уравнений линий AP и BP в системе X'O'Y':

(2.26)

Рис.2.8

и совместное решение этих уравнений:

(2.27)

перевод координат X' и Y' из системы X'O'Y' в систему XOY:

(2.28)

Так как Ctgα2' = - Ctgγ и угол засечки γ всегда больше 0о, то решение (2.27) всегда существует.