Обобщенное спектральное представление сигналов

Литература: [Л.1], с 29-34

[Л.2], с 32-39

При рассмотрении геометрического представления сигналов мы зафиксировали пространство в какой-то момент времени . Снимем это ограничение и будем полагать, что каждый вектор координатного базиса представляет собой функцию времени . Переходя к функциям времени выражение (1.31) можно переписать следующим образом применительно для функций координатного базиса и

, (1.32)

Но вектора и взаимноперпендикулярны, т.е. угол между ними составляет =90⁰, а .

Приравнивая (1.32) к нулю и учитывая, что нормы и всегда отличны от нуля, получим:

. (1.33)

Две функции и , скалярное произведение (1.33) которых равно нулю, называют ортогональными функциями. Таким образом, декартова система координат при геометрическом представлении соответствует системе ортогональных функций . Поскольку по определению

,

то система функций является ортогональной, если выполняется условие

(1.34)

При выполнении условия

(1.35)

система функций называется ортонормированной. Нетрудно убедиться, что нормировка осуществляется делением каждой функции на ее норму. С геометрической точки зрения каждая функция ортонормированной системы соответствует единичному вектору – орту.

С учетом вышеизложенного при условии конечной энергии сигнала на интервале (0,Тс), т.е.

,

выражение (1.20) можно записать следующим образом

. (1.36)

Выражение (1.36) представляет собой разложение сигнала на составляющие в системе ортогональных базисных функций (в ортогональном базисе) и называется обобщенным рядом Фурье.

Если число ортогональных функций в базисе бесконечно, то обобщенный ряд Фурье описывается следующим выражением

. (1.37)

В дальнейшем мы будем пользоваться именно таким представлением обобщенного ряда Фурье.

Для определения значений умножим обе части (1.37) на и проинтегрируем произведение в пределах

(1.38)

В силу ортогональности функций все слагаемые в (1.38) будут равны нулю кроме слагаемого, в котором индексы функций совпадают. Тогда выражение (1.38) примет следующий вид

.

Отсюда следует, что

. (1.39)

Отдельная функция называется спектральной составляющей сигнала, а совокупность коэффициентов носит название спектра сигнала в данной системе базисных функций. Спектр сигнала полностью определяет его свойства.

И, в заключение, выясним, как связаны между собой энергия сигнала в целом и его спектральных составляющие. Для простоты сначала положим, что сигнал представлен всего двумя спектральными составляющими

. (1.40)

Так как энергия сигнала

, (1.41)

то, подставляя (1.40) в (1.41), получим

.

В силу ортогональности и второе слагаемое будет равно нулю. Тогда энергию сигнала можно представить формулами

или

.

Распространяя полученный результат на систему ортогональных функций , получим

, (1.42)

Где – энергия k-той составляющей.

Если - система ортонормированных функций, то (1.42) принимает вид:

. (1.43)

Выражения (1.42) или (1.43) представляют собой равенство Парсеваля, которое означает, что энергия сигнала равна сумме энергий всех спектральных составляющих. То же самое справедливо и для средней мощности сигнала.

Итак, выражения (1.36) и (1.37) не конкретизируют вид функций . В качестве таких функций в радиотехнике рассматриваются тригонометрические функции, функции Уолша, Хаара и ряд других. Поэтому перейдем к рассмотрению спектрального анализа сигналов в конкретных базисных системах.

Контрольные вопросы к главе 1

1. Приведите структурную схему радиотехнической информационной системы.

2. Какие числовые характеристики применяются для описания моделей сигналов?

3. В чем состоит разница между видеосигналом и радиосигналом?

4. Сформулируйте принцип динамического представления сигнала.

5. Какими свойствами обладает дельта-функция?

6. Перечислите основные свойства линейного пространства.

7. Что такое координатный базис пространства?

8. Какие функции называются ортогональными?

9. Запишите выражение для обобщенного ряда Фурье.

10. Дайте определение спектра сигнала.

11. Как связаны между собой энергия сигнала и его спектральные составляющие?

12. Что представляет собой равенство Парсеваля?